交叉熵

交叉熵（cross entropy）是深度学习中常用的一个概念，一般用来求目标与预测值之间的差距。

信息量:

首先是信息量。假设我们听到了两件事，分别如下：

事件A：巴西队进入了2025世界杯决赛圈。 事件B：中国队进入了2025世界杯决赛圈。

仅凭直觉来说，显而易见事件B的信息量比事件A的信息量要大。究其原因，是因为事件A发生的概率很大，事件B发生的概率很小。所以当越不可能的事件发生了，我们获取到的信息量就越大。越可能发生的事件发生了，我们获取到的信息量就越小。那么信息量应该和事件发生的概率有关。

假设X是一个离散型随机变量，其取值集合为χ,概率分布函数p(x)=Pr(X=x),x∈χ，p(x)=Pr(X=x),x∈χ,则定义事件X=x0的信息量为：

                                                          

由于是概率，所以p(x0)的取值范围是[0,1]，绘制为图形如下：

                                                                                     

熵：

考虑另一个问题，对于某个事件，有n种可能性，每一种可能性都有一个概率p(xi) 这样就可以计算出某一种可能性的信息量。举一个例子，假设你拿出了你的电脑，按下开关，会有三种可能性，下表列出了每一种可能的概率及其对应的信息量：

序号事件概率p信息量IA电脑正常开机0.7-log(p(A))=0.36B电脑无法开机0.2-log(p(B))=1.61C电脑爆炸了0.1-log(p(C))=2.30

注：文中的对数均为自然对数

我们现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即：

                                                                          

其中n代表所有的n种可能性，所以上面的问题结果就是：

                                                   

然而有一类比较特殊的问题，比如投掷硬币只有两种可能，字朝上或花朝上。买彩票只有两种可能，中奖或不中奖。我们称之为0-1分布问题（二项分布的特例），对于这类问题，熵的计算方法可以简化为如下算式：

                                                          

相对熵（KL散度）

相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异。

维基百科对相对熵的定义：

In the context of machine learning, DKL(P‖Q) is often called the information gain achieved if P is used instead of Q.

翻译为：在机器学习的上下文中，DKL（P‖Q）通常称为使用P代替Q所获得的信息增益。即：如果用P来描述目标问题，而不是用Q来描述目标问题，得到的信息增量。

在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1]。

直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。

KL散度的计算公式：

                                                                

n为事件的所有可能性。DKL的值越小，表示q分布和p分布越接近

交叉熵

对上式变形可以得到：

                                                       

等式的前一部分恰巧就是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵：

                                                                           

在机器学习中，我们需要评估label和predict之间的差距，使用KL散度刚刚好，即：

                                                                                         ，

由于KL散度中的前一部分−H(y)不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以一般在机器学习中直接用用交叉熵做loss，评估模型。

机器学习中交叉熵的应用

1.线性回归问题

在线性回归问题中，常常使用MSE（Mean Squared Error）作为loss函数，比如：

                                                                               

这里的m表示m个样本，loss为m个样本的loss均值。

2.单分类问题

这里的单类别是指，每一张图像样本只能有一个类别，比如只能是狗或只能是猫。

交叉熵在单分类问题上基本是标配的方法：

                                                                                

上式为一张样本的loss计算方法。式中n代表着n种类别。

举例说明,比如有如下样本：

                                                                        

对应的标签和预测值：

*猫青蛙老鼠Label010Pred0.30.60.1

那么：

                                                          

对应一个batch的loss就是：

                                                                           

其中，m为当前batch的样本数。

3.多分类问题

这里的多类别是指，每一张图像样本可以有多个类别，比如同时包含一只猫和一只狗。

和单分类问题的标签不同，多分类的标签是n-hot。

比如下面这张样本图，即有青蛙，又有老鼠，所以是一个多分类问题。

                                                                     

对应的标签和预测值：

*猫青蛙老鼠Label011Pred0.10.70.8

值得注意的是，这里的Pred不再是通过softmax计算的了，这里采用的是sigmoid。将每一个节点的输出归一化到[0,1]之间，所有Pred值的和也不再为1。换句话说，就是每一个Label都是独立分布的，相互之间没有影响。所以交叉熵在这里是单独对每一个节点进行计算，每一个节点只有两种可能值，所以是一个二项分布。前面说过对于二项分布这种特殊的分布，熵的计算可以进行简化。

同样的，交叉熵的计算也可以简化，即：

                                                                   

注意，上式只是针对一个节点的计算公式。这一点一定要和单分类loss区分开来。

例子中可以计算为：

                                                 

单张样本的loss即为：

                                                                

每一个batch的loss就是：

                                                     

式中m为当前batch中的样本量，n为类别数。