范数（Norm）的概念

一、内积，Euclidean范数和角度二、范数、距离和单位球三、几种范数的例子总结

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一、内积，Euclidean范数和角度

对于任意的向量x,y∈Rⁿ ，他们在n维空间上的标准内积，表示如下： 向量x∈Rⁿ的Euclidean范数（又称 $L_2$ 范数），如下所示： Cauchy-Schwartz不等式表明，对于任意的x,y∈Rⁿ ，都有： 因此非零向量x，y之间的（无符号）角度定义为： 其中cos^-1(U)∈[0,π], 如果x和y正交，那 x^Ty=0。

二、范数、距离和单位球

对于一个函数$f$：Rⁿ→R， $domf$ = $R$ⁿ,如果满足一下几个条件，则被称为范数： 我们使用符号$f(x)=||x||$表示的范数是实数空间上绝对值。当我们要指定特定的范数时，我们使用符号$f(x)=||x|{|}_{symb}$，其中下标是指该范数所表示的含义。范数是向量x长度的度量, 我们可以测量两个向量x和y之间的距离，作为它们之差的长度: 我们用范数$||\cdot ||$表示向量x，y之间的距离，表示为$dist(x,y)$。范数$||\cdot ||$小于或等于1的所有向量的集合被称为单位球： 单位球满足下面这些特性：

三、几种范数的例子

最简单的范数就是实数空间上的绝对值。n维空间上的 Euclidean范数（又称$L_2$ 范数），表示两个向量x和y之间的距离。$L_1$ 范数： n维空间上的每个元素的绝对值之和，如下所示： $L_{\infty }$ 范数，又称切比雪夫（Chebyshev）范数，如下所示： 考虑更一般的情况： $L_p$ 范数： $L_1$ 范数和$L_2$ 范数分别是p等于1和2的特殊情况。

总结

范数(norm)是数学中的一种基本概念。在泛函分析中，它定义在赋范线性空间中，并满足一定的条件，即①非负性；②齐次性；③三角不等式。它常常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小。范数在最优化理论中，经常可以被看到用作例子来说明问题，因此是一个非常重要的概念。