目录

一、离散随机变量的相关概念二、几个离散概率分布整理

一、离散随机变量的相关概念

随机变量：随机变量Y是一个定义在样本空间上的数值函数，样本空间中的每个简单事件都被指派一个$Y$值。【什么是随机变量】

离散随机变量的定义：离散随机变量$Y$是一个仅能取可数个值得变量。

离散随机变量的概率分布：离散随机变量$Y$的概率分布是给出Y的每个可能取值$Y=y$以及相应概率$p(y)$的表、图或公式。且有如下的要求：$p(y)\ge 0,且\sum p(y)=1$。

离散随机变量的概率模型：伯努利试验、二项分布、多项分布、负二项分布、几何分布、超几何分布以及泊松分布。

二、几个离散概率分布整理

如有错误，恳请指出！

名称该随机变量的特征概率分布形式期望和方差$伯努利试验$1.试验得到两个互斥结果$A$、$B$之一. 2.两个结果是完备的.3.$A$和$B$的概率分别用$p$和$q$表示，即$P(S)=p$，$P(F)=q$.$p(y)=p^y{q}^{1-y}$其中：$p$是试验成功的概率；$q=1-p$$\mu =p$${\sigma }^2=pq$$二项概率分布$1.试验包含$n$次相同的伯努利试验. 2.每次试验只有两种结果.3.每次试验保持$P(S)=p$，$P(F)=q$.4.$n$次试验是独立的.5.二项随机变量$Y$表示n次试验中成功的次数.$p(y)=\left(\begin{array}{c}n\\ y\end{array}\right)p^y{q}^{n-y}$ 其中：$n$是试验的次数；$y$是$n$次试验中成功的次数.$\mu =np$${\sigma }^2=npq$$多项概率分布$1.试验包含$n$次相同的伯努利试验.2.每次试验有$k$个可能的结果.3.$k$个结果的概率在每次实验中保持不变.4.试验是独立的.$p(y_1,y_2,...,y_k)=\frac{n!}{y_1!y_2!\cdots y_n!}(p_1{)}^{y_1}(p_2{)}^{y_2}\cdots (p_n{)}^{y_n}$其中：$p_i$是一次实验中出现结果$i$的概率；$y_i$是$n$次试验中出现结果$i$的次数.${\mu }_i=n{p}_i$${\sigma }_i^2=n{p}_i(1-p_i)$$负二项概率分布$随机变量$Y$表示直至观测到第$r$次成功时试验的次数.$p(y)=\left(\begin{array}{c}y-1\\ r-1\end{array}\right)p^r{q}^{y-r}$ 其中：$p$是一次伯努利试验成功的概率；$y$是直至观测到第$r$次成功的试验次数.$\mu =\frac{r}{p}$${\sigma }^2=\frac{rq}{p^2}$$几何概率分布$基于负二项分布，对于$r=1$的特殊情况，$Y$的概率分布称为几何概率分布.$p(y)=p{q}^{y-1}$$\mu =\frac{1}{p}$${\sigma }^2=\frac{q}{p^2}$$超几何概率分布$1. 总体是包含$r$个$S$(成功)和$N-r$个$F$(失败)的集合.2.试验是从该集合中无放回地随机抽取$n$个元素. 3.样本容量$n$相对于总体元素的个数$N$是大的，即$n/N>0.05$. 4.超几何随机变量$Y$时抽出$n$个元素中$S$的个数.$p(y)=\frac{\left(\begin{array}{c}r\\ y\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}N-r\\ n-y\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}N\\ n\end{array}\right)}$ 其中：$N$是元素的总数；$r$是$N$个元素中成功的个数；$n$是所抽出的元素个数；$y$是$n$中成功的个数.$\mu =\frac{nr}{N}$${\sigma }^2=\frac{r(N-r)n(N-n)}{N^2(N-1)}$$泊松概率分布$1.试验是在给定的时间单位或面积、体积单位内发生某个事件的概率. 2.事件发生在给定单位内的概率对所有单位都相同.3. 发生在一个单位内的事件数与发生在其他单位内的事件数是独立的.$p(y)=\frac{{\lambda }^y{e}^{-\lambda }}{y!}$ 其中：$\lambda$是给定单位内事件发生的平均数；$e$=2.71828…$\mu =\lambda$${\sigma }^2=\lambda$