2020 Multi-University Training Contest 5----HDU--6814、Tetrahedron （数学，推式子）

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题面：

题意： 有一个四面体，已知某一个顶点上的三条边相互垂直，同时知道这三条边长度在 $1$ 到 $n$ 的正整数中均匀分布，且相互独立，令这个点到对应底面的距离为 $h$，求 $\frac{1}{h^2}$ 的期望。

题解： 可以以该点为原点，三条边为轴，建立直角坐标系。 那么显然可以得到四面体所有点的坐标。 用叉积算出底面面积，运用体积公式列方程求解即可。

$V=\frac{1}{6}abc=\frac{1}{3}Sh$

可解得：

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

那么：

$E(\frac{1}{h^2})=3\ast E(\frac{1}{a^2})$

处理一个 $\frac{1}{a^2}$ 的前缀和即可。

代码：

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> #include<string> #include<queue> #include<bitset> #include<map> #include<unordered_map> #include<unordered_set> #include<set> #include<ctime> #define ui unsigned int #define ll long long #define llu unsigned ll #define ld long double #define pr make_pair #define pb push_back //#define lc (cnt<<1) //#define rc (cnt<<1|1) #define len(x) (t[(x)].r-t[(x)].l+1) #define tmid ((l+r)>>1) #define fhead(x) for(int i=head[(x)];i;i=nt[i]) #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y)) #define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x)) using namespace std; const int inf=0x3f3f3f3f; const ll lnf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f; const double dnf=1e18; const double alpha=0.75; const int mod=998244353; const double eps=1e-8; const double pi=acos(-1.0); const int hp=13331; const int maxn=6000100; const int maxm=100100; const int maxp=100100; const int up=1100; ll inv[maxn],sum[maxn]; int main(void) { inv[1]=1; sum[1]=3*inv[1]*inv[1]; for(int i=2;i<maxn;i++) { inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod; sum[i]=(sum[i-1]+3*inv[i]*inv[i])%mod; } int tt,n; scanf("%d",&tt); while(tt--) { scanf("%d",&n); printf("%lld\n",sum[n]*inv[n]%mod); } return 0; }