解析几何 直线与平面 向量代数(1.1)

一.向量 1.概念: 2.向量的加减法:

①设$OA=a,AB=b$则向量$OB=a+b$ ②$a+b=b+a$(见图1.2) ③$(a+b)+c=a+(b+c)$(见图1.3) ④$a+0=a$ ⑤$a+(-a)=0$ ⑥$a-b=a+(-b)$(见图1.4) ⑦$|a+b|\le |a|+|b|$ 从②~⑥可知,向量的加法与减法的基本运算规律与实数的加法和减法完全相同

3.向量的数量乘法:

①$\lambda (\mu a)=(\lambda \mu )a$ ②$(\lambda +\mu )a=\lambda a+\mu a$ ③$\lambda (a+b)=\lambda a+\lambda b$ 这里$\lambda ,\mu$是任意实数,$a,b$是任意向量

4.向量共线:

定理1:①设$A,B$为不同的2点,则点$X$在直线$AB$上的充要条件是:存在唯一1对实数${\lambda }_1,{\lambda }_2$,使得$$x={\lambda }_{1}a+{\lambda }_{2}b({\lambda }_1+{\lambda }_2=1)(1.1.4)$$这里向量的公共起点不在直线$AB$上.特别地,点$X$落在线段$AB$上的充要条件是:存在唯一1对非负实数${\lambda }_1,{\lambda }_2$,使(1.1.4)式成立 ②设$A,B,C$为不在同一直线上的3点,则点$X$在$A,B,C$所决定的平面$\pi$上的充要条件是:存在唯一1组实数${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$,使得$$x={\lambda }_{1}a+{\lambda }_{2}b+{\lambda }_{3}c({\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=1)(1.1.5)$$这里向量的公共起点不在平面$\pi$上.特别地,点$X$落在线段$\Delta ABC$上的充要条件是:存在唯一1组非负实数${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$,使(1.1.5)式成立 ③设$A,B,C,D$为不在同一平面上的4点,则点$X$在$A,B,C$所决定的四面体内的充要条件是:存在唯一1组非负实数${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4$,使得$$x={\lambda }_{1}a+{\lambda }_{2}b+{\lambda }_{3}c+{\lambda }_{4}d({\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3+{\lambda }_4=1)(1.1.6)$$

二.内积/外积/混合积与直角坐标系 1.内积 (1)向量的夹角: (2)内积的定义: (3)内积的性质:

①交换律:$a\cdot b=b\cdot a$ ②$a\cdot b=0\Rightarrow a\perp b$,即$a=0$或$b=0$或$a\perp b(a,b\ne 0)$ ③$a\cdot a=|a{|}^2$ ④结合律:$(\lambda a)\cdot b=\lambda (a\cdot b)=a\cdot (\lambda b)(\lambda \in R)$ ⑤分配律:$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ $(\lambda a+\mu b)\cdot c=\lambda (a\cdot c)+\mu (b\cdot c)(\lambda ,\mu \in R)(1.1.48)$ ⑥施瓦茨不等式(Schwarz Inequality):$|a\cdot b|\le |a||b|$,当且仅当$a//b$时等号成立

(4)向量的投影: 2.外积 (1)外积的定义: (2)外积的性质:

①反称性:$a\times b=-b\times a$ ②$a\times b=0\Rightarrow a//b$,即$a=0$或$b=0$或$a//b(a,b\ne 0)$ ③结合律:$(\lambda a)\times b=\lambda (a\times b)=a\times (\lambda b)(\lambda \in R)$ ④$|a\times b{|}^2+|a\cdot b{|}^2=|a{|}^2|b{|}^2$ ⑤分配律:$(a+b)\times c=a\times c+b\times c$

3.直角坐标系: 4.混合积: