作者：言有三 链接：https://www.zhihu.com/question/313633835/answer/661654161 来源：知乎 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
深度学习模型之所以在各种任务中取得了成功，足够的网络深度起到了很关键的作用，那么是不是模型越深，性能就越好呢？
Bengio和LeCun在2017年的文章[1]中有这么一句话，"We claim that most functions that can be represented compactly by deep architectures cannot be represented by a compact shallow architecture"，大概意思就是大多数函数如果用一个深层结构刚刚好解决问题，那么就不可能用一个更浅的同样紧凑的结构来解决。
要解决比较复杂的问题，要么增加深度，要么增加宽度，而增加宽度的代价往往远高于深度。
Ronen Eldan等人甚至设计了一个能被小的3层网络表示，而不能被任意的2层网络表示的函数。总之，一定的深度是必要的。
那么随着模型的加深，到底有哪些好处呢？
1.1、更好拟合特征。
现在的深度学习网络结构的主要模块是卷积，池化，激活，这是一个标准的非线性变换模块。更深的模型，意味着更好的非线性表达能力，可以学习更加复杂的变换，从而可以拟合更加复杂的特征输入。
看下面的一个对比图[2]，实线是一个只有一层，20个神经元的模型，虚线是一个2层，每一层10个神经元的模型。从图中可以看出，2层的网络有更好的拟合能力，这个特性也适用于更深的网络。
1.2、网络更深，每一层要做的事情也更加简单了。
每一个网络层各司其职，我们从zfnet反卷积看一个经典的网络各个网络层学习到的权重。
第一层学习到了边缘，第二层学习到了简单的形状，第三层开始学习到了目标的形状，更深的网络层能学习到更加复杂的表达。如果只有一层，那就意味着要学习的变换非常的复杂，这很难做到。
上面就是网络加深带来的两个主要好处，更强大的表达能力和逐层的特征学习。
理论上一个2层的网络可以拟合任何有界的连续函数，但是需要的宽度很大，这在实际使用中不现实，因此我们才会使用深层网络。
我们知道一个模型越深越好，但是怎么用一个指标直接定量衡量模型的能力和深度之间的关系，就有了直接法和间接法两种方案。
直接法便是定义指标理论分析网络的能力，间接法便是通过在任务中的一系列指标比如准确率等来进行比较。
2.1、直接法
早期对浅层网络的研究，通过研究函数的逼近能力，和布尔电路的比较，网络的VC维度等进行评估，但是并不适用于深层网络。
目前直接评估网络性能一个比较好的研究思路是线性区间(linear regions)。可以将神经网络的表达看作是一个分段线性函数，如果要完美的拟合一个曲线，就需要无数多的线性区间(linear regions)。线性区间越多，说明网络越灵活。
Yoshua Bengio等人就通过线性区间的数量来衡量模型的灵活性。一个更深的网络，可以将输入空间分为更多的线性响应空间，它的能力是浅层网络的指数级倍。
对于一个拥有n0个输入，n个输出，kn个隐藏层的单层网络，其最大数量为：
对于拥有同样多的参数，n0个输入，n个输出，k个隐藏层，每一层n个节点的多层网络，其最大数量为：
因为n0通常很小，所以多层网络的数量是单层的指数倍(体现在k上)，计算方法是通过计算几何学来完成，大家可以参考论文[3]。
除此之外还有一些其他的研究思路，比如monica binachini[4]等使用的betti number，Maithra Raghu等提出的trajectory length[5]。
虽然在工程实践中这些指标没有多少意义甚至不一定有效，但是为我们理解深度和模型性能的关系提供了理论指导。
2.2、间接法
间接法就是展现实验结果了，网络的加深可以提升模型的性能，这几乎在所有的经典网络上都可以印证。比较不同的模型可能不够公平，那就从同一个系列的模型来再次感受一下，看看VGG系列模型，ResNet系列模型，结果都是从论文中获取。
在一定的范围内，网络越深，性能的确越好。
前面说到加深在一定程度上可以提升模型性能，但是未必就是网络越深越越好，我们从性能提升和优化两个方面来看。
3.1、加深带来的优化问题
ResNet为什么这么成功，就是因为它使得深层神经网络的训练成为可行。虽然好的初始化，BN层等技术也有助于更深层网络的训练，但是很少能突破30层。
VGGNet19层，GoogleNet22层，MobileNet28层，经典的网络超过30层的也就是ResNet系列常见的ResNet50，ResNet152了。虽然这跟后面ImageNet比赛的落幕，大家开始追求更加高效实用的模型有关系，另一方面也是训练的问题。
深层网络带来的梯度不稳定，网络退化的问题始终都是存在的，可以缓解，没法消除。这就有可能出现网络加深，性能反而开始下降。
3.2、网络加深带来的饱和
网络的深度不是越深越好，下面我们通过几个实验来证明就是了。公开论文中使用的ImageNet等数据集研究者已经做过很多实验了，我们另外选了两个数据集和两个模型。
第一个数据集是GHIM数据集，第二个数据集是从Place20中选择了20个类别，可见两者一个比较简单，一个比较困难。
第一个模型就是简单的卷积+激活的模型，第二个就是mobilenet模型。
首先我们看一下第一个模型的基准结构，包含5层卷积和一个全连接层， 因此我们称其为allconv6吧，表示深度为6的一个卷积网络。
接下来我们试验各种配置，从深度为5到深度为8，下面是每一个网络层的stride和通道数的配置。
我们看结果，优化都是采用了同一套参数配置，而且经过了调优，具体细节篇幅问题就不多说了。
看的出来网络加深性能并未下降，但是也没有多少提升了。allconv5的性能明显更差，深度肯定是其中的一个因素。
我们还可以给所有的卷积层后添加BN层做个试验，结果如下，从allconv7_1和allconv8_1的性能相当且明显优于allconv6可以得出与刚才同样的结论。
那么，对于更加复杂的数据集，表现又是如何呢？下面看在place20上的结果，更加清晰了。
allconv5，allconv6结果明显比allconv7，allconv8差，而allconv7和allconv8性能相当。所以从allconv这个系列的网络结构来看，随着深度增加到allconv7，之后再简单增加深度就难以提升了。
接下来我们再看一下不同深度的mobilenet在这两个数据集上的表现，原始的mobilenet是28层的结构。
不同深度的MobileNet在GHIM数据集的结果如下：
看得出来当模型到16层左右后，基本就饱和了。
不同深度的MobileNet在Place20数据集的结果如下：
与GHIM的结果相比，深度带来的提升更加明显一些，不过也渐趋饱和。
这是必然存在的问题，哪有一直加深一直提升的道理，只是如何去把握这个深度，尚且无法定论，只能依靠更多的实验了。
除此之外，模型加深还可能出现的一些问题是导致某些浅层的学习能力下降，限制了深层网络的学习，这也是跳层连接等结构能够发挥作用的很重要的因素。
关于网络深度对模型性能的影响，这次就先说这么多，更多可以去听我的知乎live。
[1] Bengio Y, LeCun Y. Scaling learning algorithms towards AI[J]. Large-scale kernel machines, 2007, 34(5): 1-41.
[2] Montufar G F, Pascanu R, Cho K, et al. On the number of linear regions of deep neural networks[C]//Advances in neural information processing systems. 2014: 2924-2932.
[3] Pascanu R, Montufar G, Bengio Y. On the number of response regions of deep feed forward networks with piece-wise linear activations[J]. arXiv preprint arXiv:1312.6098, 2013.
[4] Bianchini M, Scarselli F. On the complexity of neural network classifiers: A comparison between shallow and deep architectures[J]. IEEE transactions on neural networks and learning systems, 2014, 25(8): 1553-1565.
[5] Raghu M, Poole B, Kleinberg J, et al. On the expressive power of deep neural networks[C]//Proceedings of the 34th International Conference on Machine Learning-Volume 70. JMLR. org, 2017: 2847-2854.
总结
深度学习的名字中就带着“深”，可见深度对模型的重要性。这一次我们讲述了深度对模型带来提升的原理，如何定量地评估深度对模型性能的贡献，以及加深网络会遇到的问题。
