可以把任何一条从(0,0)到(n, n)的非法路径 一 一对应到一条从(0,0)到(n-1, n+1)的路径 ，因此我们所有合法路径的数量就是从(0,0)走到 (n-1, n+1)的路线的数量。 那么从(0,0)到(n - 1, n + 1)的数量有多少条呢？

从(0, 0)到(n - 1)(n +１)一共要走2n 步， 其中 向右走(n - 1)步， 向上走(n +１)步，它的方案数是Ｃ(n - 1, 2n)步,所以非法方案就是Ｃ(n - 1, 2n)。 总方案是C(n, 2n), 那么合法方案就是C(n, 2n) - Ｃ(n - 1, 2n)

合法括号序列的数量是卡特兰数， 从(0, 0)到(n, n)的合法路径的数量也是卡特兰数。还有： 举例 有一个栈， 通过这个栈对 1 ~ n排序， 那么得到的方案数也是卡特兰数： 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 2 1 这个例子可以把所有的入栈操作看作是“(”, 所有的出栈操作看作是“)”, 那么任何一个序列都对应一个合法的括号序列，也就是卡特兰数

这是第一大类的卡特兰数的情景

第二大类的卡特兰数的情景：多边形三角划分的方案数。

有一个长度为 (n + 2)的多边形； 如 ： 六边形， n = 4;, 可以划分成四个三角形，划分的数量一共有多少？这也是另一种卡特兰数，是用递推的方式得到的卡特兰数。

一个边为(n + 2)的多边形，它的它划分成三角形的数量是多少呢 首先，多边形里每一条边最终一定会属于某个三角形，对吧？ 因此， 我们可以把这(n + 2)条边划分为k类，枚举一下三角形的形状，一共得到n类

抽屉原理

那么他至少一共下了77盘棋，最多132盘棋 假设美天下的棋的数量分别是a₁、a₂、……a~77 前缀和： s₁ = a₁ s₁ =a₁ + a₂ s₁ =a₁ + a₂ + a₁ …… s_n =a₁ + a₂ + …… + a_n

让所有s都加上21，得到a₁+21 、 s₂+21 、 ……s₇₇+21

s₇₇+21 <= 153

一共有154个数，153个抽屉，

那么一定有某个数出现了两次，因为每周至少一盘棋，那么s中某一个数是s+21中某一个数 相同的某个数一定是s_i = s_j+21

问题转化为 滑动窗口，即 无论怎么排， 总有一个窗口里的数之和为9，求n的最小值为多少

证明：n最小取多少，可以使得其中必有一个s_i=s_j+ 9、 也就是前缀和s里面保证有两个数和为0

因此，可以把所有差是9的数放到一个抽屉里面 这时， 每个圈至多选择1个数，就有18个，那么再多选一个，就会一定有一个s_i是s_j+ 0，所以19个数的话，n=18；

Nim 游戏

如果n是(m+1)的倍数,先手不管取多少，后手都区(m+1-x)这样就可以控制剩下的数量(m+1)的倍数，这样先手必败 如果 n不是(m+1)的倍数，那么先手必胜