一.集合论预备知识(1.1) 1.集合: 2.集合的运算 (1)交: (2)并: (3)补: (4)直积: 3.映射 (1)概念: (2)映射的和成:
引理1(和成运算满足结合律):设 f : A → B , g : B → C , h : C → D f:A→B,g:B→C,h:C→D f:A→B,g:B→C,h:C→D均是集合间的映射,则 h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f h∘(g∘f)=(h∘g)∘f
(3)满射/单射/双射:
引理2:映射 f : A → B f:A→B f:A→B是双射 ① ^① ①的充要条件是:存在映射 g : B → A g:B→A g:B→A,使得 f ∘ g = 1 B , g ∘ f = 1 A f\circ g=1_B,g\circ f=1_A f∘g=1B,g∘f=1A 注:①一一对应或一一映射又称双射
(4)逆映射: 4.等价 (1)等价关系: (2)等价类与完全代表系: (3)集合的分拆: (4)等势的集合: 5.运算: 二.群(1.2) 1.概念 (1)半群: (2)幺元素:
注:①幺元素又称单位元
(3)逆元素:
可逆元素又称可逆元,元素 x x x的逆元素又称 x x x的逆元
(4)群: (5)实例: 2.其他 (1)含幺半群与群的关系:
定理1:若 ( M , ⋅ ) (M,\cdot) (M,⋅)是含幺半群,则 ( U ( M ) , ⋅ ) (U(M),\cdot) (U(M),⋅)是群 从而有:
(2)群的阶: (3)群的同态: (4)群的自同态:
