数理统计——点估计与置信区间

tech2024-06-11  7

数理统计——点估计与置信区间

一、样本估计总体总体均值的估计总体方差的估计 二、总体估计样本(样本 X s ∼ B ( n , p ) X_{s}\sim{B(n,p)} XsB(n,p))三、总体估计样本均值(已知 μ \mu μ σ 2 \sigma^2 σ2)

一、样本估计总体

当我们不知道总体参数的确切值且无法通过总体计算这些参数时,我们可以用“点估计量”对总体参数进行最接近的猜测。

总体均值的估计

u ^ = X ‾ \hat{u}=\overline{X} u^=X

其中, u ^ \hat{u} u^表示估计的总体均值, X ‾ \overline{X} X表示样本的均值。

总体方差的估计

σ ^ 2 = s 2 = ∑ ( X − X ‾ ) 2 n − 1 \hat{\sigma}^{2}=s^{2}=\frac{\sum{(X-\overline{X})^2}}{n-1} σ^2=s2=n1(XX)2

其中, σ ^ 2 \hat{\sigma}^{2} σ^2 s 2 s^2 s2都表示估计的总体方差, n n n表示样本的数量。 当n很大时,样本服从

二、总体估计样本(样本 X s ∼ B ( n , p ) X_{s}\sim{B(n,p)} XsB(n,p))

P s = X s n P_s=\frac{X_s}{n} Ps=nXs,则:

E ( P s ) = p E(P_{s})=p E(Ps)=p V a r ( P s ) = D ( P s ) = p q n Var(P_{s})=D(P_{s})=\frac{pq}{n} Var(Ps)=D(Ps)=npq

其中, q = 1 − q q=1-q q=1q。 当n很大时,例如大于30,则 P s P_s Ps近似为正态分布。

三、总体估计样本均值(已知 μ \mu μ σ 2 \sigma^2 σ2)

E ( X ‾ ) = μ E(\overline{X})=\mu E(X)=μ V a r ( X ‾ ) = D ( X ‾ ) = σ 2 n Var(\overline{X})=D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n} Var(X)=D(X)=nσ2
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