数理统计——点估计与置信区间
一、样本估计总体总体均值的估计总体方差的估计
二、总体估计样本(样本
X
s
∼
B
(
n
,
p
)
X_{s}\sim{B(n,p)}
Xs∼B(n,p))三、总体估计样本均值(已知
μ
\mu
μ和
σ
2
\sigma^2
σ2)
一、样本估计总体
当我们不知道总体参数的确切值且无法通过总体计算这些参数时，我们可以用“点估计量”对总体参数进行最接近的猜测。
总体均值的估计
u
^
=
X
‾
\hat{u}=\overline{X}
u^=X
其中，
u
^
\hat{u}
u^表示估计的总体均值，
X
‾
\overline{X}
X表示样本的均值。
总体方差的估计
σ
^
2
=
s
2
=
∑
(
X
−
X
‾
)
2
n
−
1
\hat{\sigma}^{2}=s^{2}=\frac{\sum{(X-\overline{X})^2}}{n-1}
σ^2=s2=n−1∑(X−X)2
其中，
σ
^
2
\hat{\sigma}^{2}
σ^2和
s
2
s^2
s2都表示估计的总体方差，
n
n
n表示样本的数量。 当n很大时，样本服从
二、总体估计样本(样本
X
s
∼
B
(
n
,
p
)
X_{s}\sim{B(n,p)}
Xs∼B(n,p))
设
P
s
=
X
s
n
P_s=\frac{X_s}{n}
Ps=nXs，则:
E
(
P
s
)
=
p
E(P_{s})=p
E(Ps)=p
V
a
r
(
P
s
)
=
D
(
P
s
)
=
p
q
n
Var(P_{s})=D(P_{s})=\frac{pq}{n}
Var(Ps)=D(Ps)=npq
其中，
q
=
1
−
q
q=1-q
q=1−q。 当n很大时，例如大于30，则
P
s
P_s
Ps近似为正态分布。
三、总体估计样本均值(已知
μ
\mu
μ和
σ
2
\sigma^2
σ2)
E
(
X
‾
)
=
μ
E(\overline{X})=\mu
E(X)=μ
V
a
r
(
X
‾
)
=
D
(
X
‾
)
=
σ
2
n
Var(\overline{X})=D(\overline{X})=\frac{\sigma^2}{n}
Var(X)=D(X)=nσ2
