老板今天又给一个任务：
计算肝脏细胞中 X 基因与 Y 基因的关系。
现在，两个基因在各个细胞中的表达值都有了。
绘制不同细胞中 X，Y 基因的表达值在坐标轴上。
计算 X 基因和 Y 基因在5个细胞中的均值，标准差。
因为这些测量值都是来自同一个细胞，所以我们可以成对来看：
那么这样成对的测量可以告诉我们哪些信息呢？
现在，先将一对细胞连接，绘制一个点
绘制完成，我们发现，X 基因相对较低的细胞对应的 Y 基因的值也较低，两个基因出现步调一致的表达情况，这可以用一条线来表示：
不难看到，这条线是正斜率，代表着细胞中的 X 基因表达高，Y基因同样会表达高，同样表达低也会出现相同的情况。说明两基因具有正趋势关系
来看一个相反的情况：
上图中的线为负斜率，告诉我们细胞中的 X 基因表达高，Y基因会表达低，出现相反的表达情况。说明两基因具有负趋势关系
第三种情况是，一个基因相对另一个基因，并没有显著变化。说明两基因无趋势关系：
我们现在总结出 X 基因相对 Y 基因的关系有以上三种情况：
正趋势关系负趋势关系无趋势关系为了去说明 X 基因相对 Y 基因的趋势关系，我们需要一个数学上的解释：
首先计算 X基因与 Y 基因的均值
现在计算一个点的与两基因均值的差值：
将值代入计算：（3-17.6）x（12-24.4）= -14.6 x -12.4 = 181
如果将五个点都计算一遍，得到：
现在可以计算**协方差（Covariance）**了：
会发现：
这些点所在象限，最终的值都为正值，也就是说这五个点对总协方差的贡献都是正值。
协方差值为正，斜率为正，这告诉我们当协方差为正时，就可以将二者的关系分类为正趋势。如果协方差为负，则相反。
但是，协方差值并不能告诉我们表示关系的直线的斜率是陡峭还是平缓，而且也不能反应点距离线是远还是近。协方差唯一能告诉我们的是关系的斜率为正还是负。
但是协方差还有一个很大的缺点，我们接下来讨论：
比如现在同样计算两个基因的协方差，我们将左边的数据范围扩大一倍，也就是从40 -> 80。
接下来，我们继续计算同样的两个基因的协方差，虽然线相对位置没发生变化，但是会发现协方差会扩大4倍。
就很有意思，我们唯一改变的只是数据点的值范围，数据点的关系并没有变化，但是协方差依旧在改变。
也就是说，协方差对于数据范围更敏感，而不是数据关系，这就使得它很难用于关系的描述，比如是否接近表示关系的虚线，以及和虚线间的距离。
虽然这样，但是协方差并不是一无是处，相反它是各种分析的基础，比如主成分分析，相关性分析。
基于趋势线，我们可以根据某个 Y 基因值，预测 X 基因的值。
当然，也可以用 X 基因来预测 Y 基因，就行下图这样的：
如果该数据越接近趋势线，根据 X 基因值去预测 Y 基因值就会落在较小范围内，那么 X 基因就会告诉我们更详细的 Y 基因信息。也可以说， X 基因对 Y 基因的关系相对较强。
相反，距离趋势线较远，我们会猜测 Y 基因值会落在更大的范围内：
这就代表 X 基因和 Y 基因间的关系相对较弱。
但是这里要注意描述问题，以上是用 X 基因根据趋势线和数值去预测 Y 基因的值。而不是代表着 X 基因值会导致 Y 基因值的变化。
我们现在得到可以量化关系强度的分类：
弱相关，较小的相关值强相关，较大的相关值假设一个极端情况，所有点可以被正斜率的直线通过，这时的相关性为 1
无论数据关联的大小如何，只要具有正斜率的直线可以遍历所有数据，和斜率无关，相关性都为1
还有这样的，相关性也是为1
现在考虑个问题，如果数据集中只有两个值，就像下面这样：
类似这样的，其实并不能作为趋势线，因为两点绘制为线，这个随机性太大。也就是数据量太小的话，并不能代表数据总体。
测得的数据量越多，得到趋势线后，我们对于预测到正确的值越有信心，这时的P值越小。
上图中，对于第三个数据量多，P值很小，我们最有信心得出正确的预测值。
相关性代表了二者的关系，上图中的相关性很差，即使增加再多的样本量，也不会改变二者的关系。虽然增加了我们对预测的信心，可信度增加了，但是得到的结果是二者的关系依然很糟。
趋势线为负时，相关性相反
趋势线为正时，相关性为正
但是，我们大多数情况遇到的是数据分布在趋势线的两侧，
相关性值越接近 0 时，在拟合时，效果就会越差。
当相关性值为 0 时，就没有关系了。
现在可以看看相关性的公式了：
分子是二者的协方差，用来确定斜率的正负分母是标准差，使相关性质取值范围为-1到1。而且可以确保数据规模不影响相关性值绘制小鼠编号和小鼠体重的散点图，计算点与体重均值的距离，计算方差：
小鼠体重与小鼠体型的散点图，同样绘制点与均值的距离，计算方差：
可以发现，虽然点在 X 轴方向的排列顺序变了，但是方差并不会改变。
我们所要做的就是根据数据拟合一条直线，可以绘制出这根蓝线：
看起来拟合直线（蓝线）比均值直线（黑线）更好地贴合数据。
Var(mean)：数据值与其平均值的差的平方和，用来衡量数据点离均值线的远近Var(line)：数据值与蓝线的差的平方和，用来衡量数据点离拟合线的远近最终 R^2 的范围是 0 到 1，因为拟合直线附近的变化，永远不会大于，以平均线为基准衡量附近的变化。
最后，获得 R^2 = 81%，代表着蓝线与数据点的差值平方和比均值的对应数值小81%。也就是说，小鼠的大小与重量的相关性能够解释总差异的 81%，大部分数据变化都可以有小鼠体重和体型大小的关系来解释。
假设研究小鼠体重和嗅探石头的花费时间的关系：
可以看到拟合出的直线也是一个很大的值，计算得到的 R^2 只有 6%，代表这条拟合线只比平均值多解释了6%的差异，也就是说，X与 Y 二者的相关性仅仅能解释总差异的 6%，意味着数据中几乎没有任何差异可以用 X 变量来解释。
R^2 可以更好的直观解释数据的相关性，比如：
R^2 = 0.7^2 = 0.5，50%的差异可以用变量相关性来解释
R^2 = 0.5^2 = 0.25，25%的差异可以用变量相关性来解释
但是，R^2并没有方向，这时候需要结合R，描述这两个变量是正相关或负相关的。
R平方是两个变量间相关性能够解释总体差异的百分比
如果有相关系数 R 时，需要计算 R 平方。
致谢：
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白墨石 认证博客专家 生物信息学 博客专家 知乎专栏作家 生物信息学在读博士，主要研究生信流程自动化，生物序列分析，web应用及数据库搭建。联系方式在左栏，欢迎学习交流，咨询提问 ^.^