吴恩达机器学习（四）—— Logisitic回归

1. 分类问题2. 假设表示3. 决策边界4. 代价函数5. 梯度下降6. 高级优化7. 多类别分类

        Logistic回归又称Logistic回归分析，是一种广义的线性回归分析模型，常用于数据挖掘，疾病自动诊断，经济预测等领域。

1. 分类问题

        我们讨论的是要预测的变量y是一个离散值情况下的分类问题。         在分类问题中，我们尝试预测的是结果是否属于某一个类。分类问题的例子有：判断一封电子邮件是否是垃圾邮件；判断一次金融交易是否是欺诈；判断一个肿瘤是恶性的还是良性的。         我们预测的变量$y\in \left\{0,1\right\}$，其中 0 表示负类（Negative class），1 表示正类（Positive class）。         Logistic回归算法是一种分类算法，它适用于标签取值离散的情况，它的输出值永远在0到1之间。不推荐将线性回归用于分类问题，线性回归模型的预测值可超越[0,1]范围。

2. 假设表示

        对于分类问题，我们需要输出0或1，我们可以预测：

             - 当$h_{\theta }(x)⩾0.5$时，预测$y=1$。              - 当$h_{\theta }(x)⩽0.5$时，预测$y=0$。

        Logistic回归模型的假设函数是$h_{\theta }(x)=g({\theta }^{T}X)$ ，其中$X$代表特征向量，$g$代表Logistic函数。一个常用的Logistic函数为S形函数（Sigmoid function），公式为$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$ ，函数图象如图1所示。

图1 S形函数图象

        $h_{\theta }(x)$的作用是：对于给定的输入变量$x$，根据选择的参数计算输出变量$y=1$的可能性（estimated probablity），即$h_{\theta }(x)=P(y=1|x;\theta )$，所以有$P(y=0|x;\theta )+P(y=1|x;\theta )=1$。

3. 决策边界

        决策边界分为线性决策边界（Linear decision boundary）和非线性决策边界（Non-linear decision boundary）。         图2为线性决策边界的例子，红色代表正类，蓝色代表负类，其中参数$\theta$为向量[-3 1 1]，则当$-3+x_1+x_2⩾0$，即$x_1+x_2⩾3$时，模型将预测$y=1$ 。 我们可以绘制直线$x_1+x_2=3$，这条线便是我们模型的决策边界，它能将预测为1的区域和预测为0的区域分隔开。

图2 线性决策边界

        图3为非线性决策边界的例子，其中参数$\theta$为向量[-1 0 0 1 1]，则当$-1+x_1^2+x_2^2⩾0$，即$x_1^2+x_2^2⩾1$时，模型将预测$y=1$ 。 我们可以绘制圆心在原点且半径为1的圆形$x_1^2+x_2^2=1$，它能将预测为1的区域和预测为0的区域分隔开。

图3 非线性决策边界

        决策边界是假设函数的一个属性，我们可以用非常复杂的模型来适应非常复杂形状的决策边界。

4. 代价函数

        定义Logistic回归的代价函数为$$J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}Cost(h_{\theta }(x^{(i)}),y^{(i)})$$

其中$$Cost(h_{\theta }(x),y)=\{\begin{array}{c}-log(h_{\theta }(x)),{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}if{}_{}{}_{}y=1\\ -log(1-h_{\theta }(x)),{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}if{}_{}{}_{}y=0\end{array}$$

        $h_{\theta }(x)$与$Cost(h_{\theta }(x),y)$之间的关系如图4所示：

图4 $h_{\theta }(x)$与 $Cost(h_{\theta }(x),y)$之间的关系

        $Cost(h_{\theta }(x),y)$函数的特点是：当实际的$y=0$且预测的$h_{\theta }(x)$也为0时代价为0，当$y=0$但$h_{\theta }(x)$不为0时误差随着$h_{\theta }(x)$的变大而变大，如图4中a)所示；当实际的$y=1$且预测的$h_{\theta }(x)$也为1时误差为 0，当$y=1$但$h_{\theta }(x)$不为1时误差随着$h_{\theta }(x)$变小而变大，如图4中b)所示。         $Cost(h_{\theta }(x),y)$函数也可以写成如下的式子： $$Cost(h_{\theta }(x),y)=-y\times log(h_{\theta }(x))-(1-y)\times log(1-h_{\theta }(x))$$

        那么 Logisitic回归的代价函数为$$J(\theta )=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}Cost(h_{\theta }(x^{(i)}),y^{(i)})=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[y^{(i)}\times log(h_{\theta }(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})\times log(1-h_{\theta }(x^{(i)}))]$$

5. 梯度下降

        为了拟合出参数，我们需要最小化代价函数，找到尽量让$J(\theta )$取得最小值的参数$\theta$，所用的方法是梯度下降法。         梯度下降法的实现：$$Repeat\left\{{\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}\right\}{}_{}{}_{}(Simultaneously{}_{}{}_{}update{}_{}{}_{}all{}_{}{}_{}{\theta }_j)$$

6. 高级优化

        一些更高级的优化算法有：共轭梯度法、BFGS 和L-BFGS 等。

优点：一个是通常不需要手动选择学习率，它们有一个智能内循环（线性搜索算法），可以自动尝试不同的学习速率$\alpha$并自动选择一个好的学习速率，它们甚至可以为每次迭代选择不同的学习速率，那么我们就不需要自己选择。还有一个是它们经常快于梯度下降算法。缺点：过于复杂。

7. 多类别分类

        如何使用 Logisitic回归来解决多类别分类的问题。         对于一个多类分类问题，我们的数据集看起来可能会像图5中b)所示，而图5中a)是我们之前讨论的二元分类问题的数据集。

图5 二元分类和多类别分类的数据集

        我们用3种不同的符号来代表3个类别，如图6所示，可以使用"一对多"方法来进行分类。

图6 用3种不同的符号表示多类别分类数据集中的类别

        现在我们有一个图6所示的训练集，共有3个类别，我们用三角形表示$y=1$ ，方框表示$y=2$，叉表示$y=3$。我们下面要做的就是使用一个训练集，将其分成3个二元分类问题。         我们先从用三角形代表的类别1开始，实际上我们可以创建一个新的"伪"训练集，类型2和类型3定为负类，类型1设定为正类，我们创建一个新的训练集，如图7所示，我们要拟合出一个合适的分类器。

图7 创建一个新的"伪"训练集（ $y=1$为正类）

        为了能实现这样的转变，我们将多个类别中的一个类标记为正类（$y=1$），然后将其他所有类都标记为负类，这个模型记作$h_{\theta }^{(1)}(x)$。接着，类似地第我们选择另一个类标记为正类（$y=2$），再将其它类都标记为负类，将这个模型记作$h_{\theta }^{(2)}(x)$ ,依此类推。 最后我们得到一系列的模型简记为：$h_{\theta }^{(i)}(x)=p(y=i|x;\theta )$ ，其中$i=1,2,...,k$。         最后，在我们需要做预测时，我们将所有的分类机都运行一遍，然后对每一个输入变量，都选择可能性最高的输出变量。         在分类时，我们要做的就是训练这个逻辑回归分类器$h_{\theta }^{(i)}(x)$， 其中$i$对应每一个可能的$y=i$。最后为了做出预测，我们给出输入一个新的$x$值，用这个值做预测。我们要做的就是在我们三个分类器里面输入$x$，然后我们选择一个让$h_{\theta }^{(i)}(x)$最大的$i$，即$$\underset{i}{\max }{h}_{\theta }^{(i)}(x)$$