题目描述

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。 示例 1：

输入: "babad" 输出: "bab" 注意: "aba" 也是一个有效答案。

示例 2：

输入: "cbbd" 输出: "bb"

解题思路

1.中心拓展

回文串总是会有一个“中心”，中心可以是一个字符，也可以是由两个相同的字符构成的。 中心可以在任何地方，所以，遍历字符串，对每个字符（和相同的两个字符）尝试进行拓展，看其是否能构成更长的回文串。时间复杂度是$O(n^2)$

2. 动态规划（重点）

对于一个回文串，如果我们去掉它的首尾两个字符，那么它还是一个回文串（空字符也视为回文串）。那么根据这个我们可以得到动态规划所需要的状态转移方程：

$P(i,j)=p(i+1,j-1)\wedge (S_i==S_j)$

动态规划的边界，即$i==j$或者$i+1==j$，有： $P(i,j)=true,i==j$ $P(i,j)=(S_i==S_j),i+1==j$ 我们可以在动态规划的过程中，不断比较区间的长度，找到最长的回文串。

思路理清了，那如何编码呢？ 一个需要注意的地方在于，如果我们没有选择恰当的方法去设置循环，那么我们得到的$p(i+1,j-1)$可能是未计算的，从而无法得到正确的结果。 所以，我们可以设置一个这样的双层循环：从1开始到n，外层循环遍历回文串可能的所有长度，而内层循环用这个长度的区间依次获得各个$p(i,j)$的值

3.代码

class Solution { public: string longestPalindrome(string s) { int n = s.length(); int maxlen = 0; string res = ""; vector<vector<bool>> recs(n, vector<bool>(n)); for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j + i < n; ++j) { if (i == 0) recs[j][j] = true; else if (i == 1) recs[j][j+1] = (s[j] == s[j + 1]); else recs[j][j+i] = recs[j + 1][j + i - 1] && (s[j] == s[j+i]); if (recs[j][j+i] && i + 1 > maxlen) { maxlen = i + 1; res = s.substr(j, maxlen); } } } return res; } };