深度优先搜索DFS | 回溯：力扣51. N 皇后

1、题目描述：

2、题解：

方法：深度优先搜索DFS ，回溯 数据结构和算法：从0到1系列 回溯小专题

回溯算法框架： res = [] def backtrack(路径，选择列表)： 做剪枝 if 满足结束条件： res.append(路径) return for 选择 in 选择列表： 做选择 backtrack(路径，选择列表) 撤销选择 解决一个回溯问题，实际上就是一个决策树的遍历过程： 1、路径：也就是已经做出的选择。 2、选择列表：也就是你当前可以做的选择。 3、结束条件：也就是到达决策树底层，无法再做选择的条件。 思路： 先构建一个充满点的二维数组 构建三个集合，列、正对角线、反对角线 我们把每一行当做回溯函数的形参，对每一行进行回溯： 满足结束条件，就添加到结果数组res中 对该行每一个列进行判断：（选择列表） 如果满足条件（也就是满足皇后落子的条件，该列，正反对角线都没有'Q'） 做出选择 向下做选择 撤销选择 调用回溯，传进去的参数是从第0行开始 返回res。

Python实现：

class Solution: def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]: # dfs ，回溯 board = [['.'] * n for _ in range(n)] res = [] def isValid(row, col): for i in range(row):#行，选择列表 for j in range(n):#列 if board[i][j] == 'Q' and (j == col or i + j == row + col or i - j == row - col): return False return True def backtrack(row): if row == n: temp = board[:][:] for i in range(n): temp[i] = ''.join(temp[i]) res.append(temp[:][:]) return for col in range(n):#列 if (isValid(row, col)): board[row][col] = 'Q' backtrack(row + 1) board[row][col] = '.' backtrack(0) return res

优化：

class Solution: def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]: # dfs , 回溯 board = [['.'] * n for _ in range(n)] cols,diag1,diag2 = set(),set(),set() #列集，记录出现过的皇后的列；正对角线集，反对角线集 res = [] def backtrack(row): if row == n: temp = board[:][:] for i in range(n): temp[i] = ''.join(temp[i]) res.append(temp[:][:]) return for col in range(n):#列，选择列表 #如果当前点的行列对角线都没有皇后，即可选择，否则，跳过 if col not in cols and row - col not in diag1 and row + col not in diag2: #做选择 board[row][col] = 'Q' cols.add(col) diag1.add(row-col) diag2.add(row+col) #向下选择 backtrack(row+1) #撤销选择 board[row][col] = '.' cols.remove(col) diag1.remove(row-col) diag2.remove(row+col) backtrack(0) return res

C++实现：

class Solution { public: vector<vector<string>> solveNQueens(int n) { auto solutions = vector<vector<string>>(); auto queens = vector<int>(n, -1); auto columns = unordered_set<int>(); auto diagonals1 = unordered_set<int>(); auto diagonals2 = unordered_set<int>(); backtrack(solutions, queens, n, 0, columns, diagonals1, diagonals2); return solutions; } void backtrack(vector<vector<string>> &solutions, vector<int> &queens, int n, int row, unordered_set<int> &columns, unordered_set<int> &diagonals1, unordered_set<int> &diagonals2) { if (row == n) { vector<string> board = generateBoard(queens, n); solutions.push_back(board); } else { for (int i = 0; i < n; i++) { if (columns.find(i) != columns.end()) { continue; } int diagonal1 = row - i; if (diagonals1.find(diagonal1) != diagonals1.end()) { continue; } int diagonal2 = row + i; if (diagonals2.find(diagonal2) != diagonals2.end()) { continue; } queens[row] = i; columns.insert(i); diagonals1.insert(diagonal1); diagonals2.insert(diagonal2); backtrack(solutions, queens, n, row + 1, columns, diagonals1, diagonals2); queens[row] = -1; columns.erase(i); diagonals1.erase(diagonal1); diagonals2.erase(diagonal2); } } } vector<string> generateBoard(vector<int> &queens, int n) { auto board = vector<string>(); for (int i = 0; i < n; i++) { string row = string(n, '.'); row[queens[i]] = 'Q'; board.push_back(row); } return board; } };

3、复杂度分析：

时间复杂度：O(N!)，其中 N 是皇后数量。 空间复杂度：O(N^2)，其中 N 是皇后数量。空间复杂度主要取决于递归调用层数、记录每行放置的皇后的列下标的数组以及三个集合，递归调用层数不会超过 N，数组的长度为 N，每个集合的元素个数都不会超过 N。