努力学习，珍惜时间；全力以赴，创造未来；克制欲望，摒除心魔；心向何处，往来圣贤 功崇惟志，业广惟勤；惟克果断，乃罔后艰；面临困难，切莫不安；由浅入深，抽丝剥茧 持之以恒，攻坚克难；绳锯木断，水滴石穿；一日三省，积累经验；博学笃志，刻苦钻研 劝君牢记，戒骄戒懒；一生勤勉，无愧世间。

学习目标：

（1）一个月内学会QGC地面站开发； （2）今年结束之前发表一篇文章; （3）半年内解决多无人机分布式控制问题。

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今日学习工作内容：

阅读文献 2. 中午练习演讲–会做事也要会讲话！ 3. 地面站学习开发 4. ROS多机仿真学习

1、 阅读文献

今天要阅读的文献是北航董希旺老师的发表在智能控制与自动化世界会议上的文章，题目为：Time-varying group formation control for multi-agent systems with second-order dynamics and directed topologies， 即基于二阶动力学模型与有向拓扑结构多智能体分簇编队控制。文章将一个多智能体组成的群系统分解成多个子群，各个子群分别形成特定的时变子编队。传统多智能编队控制问题往往探讨的是一个整体编队，而本文研究了分簇编队控制问题。文章给出了实现分簇编队的充分条件，推导出了可描述分簇编队宏观运动的显式表达式，并提出了设计时变分簇编队控制协议的方法。

1.1 背景意义

背景意义主要从以下几点展开：

利用局部信息实现预定义的期望编队在机器人控制理论中仍是一个颇受关注的问题；利用一致性理论研究编队控制问题是一个新兴的趋势(an emerging trend);已知的编队控制研究工作中，仅考虑了整体型编队的控制问题，即编队中所有成员共同形成一个编队；然而，许多实际应用场合，需要多智能体群系统分簇成多编队完成多目标搜索、合围等分布式任务；现有文献与分簇编队控制问题较为相关的课题主要是分簇一致性控制，即各个分簇内的智能体实现各分簇状态变量的一致，涉及的研究有考虑拓扑切换和通信延迟的一阶多智能体系统，基于领导-跟随和牵制控制(pinning control)的二阶多智能体分簇一致性控制，并有相关文献给出了实现相应一致性控制的充要条件；但目前的分簇一致性控制研究结果不能直接拓展应用到二阶多智能系统分簇时变编队控制问题中。

本文对基于有向通信拓扑的该类问题进行研究，创新点有二：

现有编队控制研究主要是针对整体式编队展开的研究，本文则探讨了分簇式编队控制问题；现有的分簇一致性控制不能直接拓展到二阶多智能系统分簇时变编队控制研究中，本文解决了该问题。

1.2 系统模型与问题描述

智能体的动态模型描述如下： $$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_i(t)=v_i(t)\\ {\dot{v}}_i(t)={\alpha }_x{x}_i(t)+{\alpha }_v{v}_i(t)+u_i(t)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$ 由于是二阶系统，$x_i$和$v_i$可分别视为智能体的位置和速度，${\alpha }_x$和${\alpha }_v$为阻尼常数。现在假设一个多智能体群系统包含$g$个子群，每个智能体视为网络中的一个节点，总节点个数记为$N$，其集合记为$V$，那么$g$个子群就有$g$个子节点集，可分别记为$V_1,V_2,\cdot \cdot \cdot ,V_g$，这些节点集具有以下关系式： $$\{\begin{array}{l}{V}_k\ne \varnothing \\ {\cup }_{k=1}^g{V}_k=V\\ V_k\cap V_l=\varnothing \end{array}(k,l\in \{1,2,\cdots ,g\};k\ne l)$$ 现用$(\bar{i},\bar{j}\in \{1,2,\cdots ,g\})$来表示分簇编号，比如，若$\bar{i}=\bar{j}$，那么有$V_{\bar{i}}=V_{\bar{j}}$；用$q_{\bar{i}}$来表示相应的子簇$V_{\bar{i}}$包含的智能体数量，$G_{\bar{i}}$表示对应子簇的通信拓扑。由于智能体的编号是$1,2,\cdot \cdot \cdot ,N$那么第$\bar{i}$个子簇$V_{\bar{i}}$中智能体依次为$V_{\bar{i}}=\left\{{\Xi }_{\bar{i}}+1,{\Xi }_{\bar{i}}+2,\cdots ,{\Xi }_{\bar{i}}+q_{\bar{i}}\right\}$，其中${\Xi }_{\bar{i}}={\sum }_{k=0}^{\bar{i}-1}{q}_k,q_0=0$.

假设1：$\left\{V_1,V_2,\cdots ,V_g\right\}$是$V$的无回路分簇(an acyclic partition of the node)，并且所有的子集对应的子图$G_{\bar{i}}$均包含一个生成树。

注释1： 无回路有向图（Directed acyclic graph）意味着图中任意一个节点不存在一条从该节点出发的路径经过其它节点后终点仍是该节点。它是相对于有回路图而言，所谓回路，假设回路起点是A，则存在一条路径形式为：$A\to B\to \cdot \cdot \cdot \to A$。无回路有向图的特点是其$Laplacian$矩阵可以写成上三角的形式¹。无回路分簇与此类似，即各分簇间是一种无回路的连接。

设总图$G$的$Laplacian$矩阵是$L$，子图对应的$Laplacian$矩阵是$L_{\bar{i}\bar{i}}$，子图之间$Laplacian$矩阵描述为$L_{\bar{i}\bar{j}}$，那么有 $$L=\left[\begin{array}{cccc}{L}_{11}& 0& \cdots & 0\\ L_{21}& L_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ L_{g1}& L_{g2}& \cdots & L_{gg}\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$

图1 无回路分簇有向图

假设2：$L_{\bar{i}\bar{j}}(\bar{i},\bar{j}\in \{1,2,\cdots ,g\})$的每一行之和均为0。

注释2：假设2是为了保证$L_{\bar{i}\bar{i}}$是$G_{\bar{i}}$的完整的$Laplacian$矩阵。同时也意味着子图之间的连接权重值有正有负，这样才能抵消为0。

定理1：如果假设1和假设2成立，那么$L$就有$g$个0特征值且其对应的$g$个特征向量是线性无关的，即为：$u_1={\left[1_{q_1}^T,0_{N-q_1}^T\right]}^T,u_2={\left[0_{q_1}^T,1_{q_2}^T,0_{N-q_1-q_2}^T\right]}^T,\cdots ,u_g={\left[0_{N-q_g}^T,1_{q_g}^T\right]}^T$，而剩下的$N-g$个特征值都是正的²。

对于任意一个分簇$\bar{i}\in \{1,2,\cdots ,g\}$，其期望的时变子编队指令都可以描述为： $${\bar{h}}_{\bar{i}}(t)={\left[h_{{\Xi }_i+1}^T(t),h_{{\Xi }_i+2}^T(t),\cdots ,h_{{\Xi }_i+q_{\bar{i}}}^T(t)\right]}^T\in {\mathbb{R}}^{2q_{\bar{i}}},$$ 其中，$h_j(t)={\left[h_{jx}(t),h_{jv}(t)\right]}^T(j\in \{{\Xi }_{\bar{i}}^4+1,{\Xi }_{\bar{i}}+2,\cdots ,{\Xi }_{\bar{i}}+q_{\bar{i}}\})$。类似的，公式(1)中的状态变量我们可以表示为：${\xi }_j(t)={\left[x_j(t),v_j(t)\right]}^T$，分簇中状态变量可表示为：${\bar{\xi }}_{\bar{i}}(t)={\left[{\xi }_{{\Xi }_{\bar{i}}+1}^T(t),{\xi }_{{\Xi }_{\bar{i}}+2}^T(t),\cdots ,{\xi }_{{\Xi }_{\bar{i}}+q_{\bar{i}}}^T(t)\right]}^T$。 . 定义1：对于多智能体系统任意的有界初始状态及任意分簇，如果存在一个向量函数$r_{\bar{i}}(t)\in {\mathbb{R}}^2$，使得 $$\underset{t\to \infty }{\lim }\left({\bar{\xi }}_{\bar{i}}(t)-{\bar{h}}_{\bar{i}}(t)-\left(I_{q_{\bar{i}}}\otimes r_{\bar{i}}(t)\right)\right)=0$$ 那么称该多智能体系统实现了由编队指令$h(t)$确定的时变分簇编队，其中$r_{\bar{i}}(t)$称为分簇$\bar{i}$的编队参考函数。

注释3： 如果$g=1$，那么本文研究的问题就变成了整体式时变编队控制问题；如果令${\bar{h}}_{\bar{i}}(t)\equiv 0$，那么分簇编队问题就变成了分簇一致性问题，可以看出本文研究的分簇时变编队问题更具有一般性，以上所述研究均是本文研究内容的特例。

本文构造分簇时变编队控制协议如下： $$\begin{array}{rl}{u}_i(t)=& K\sum _{j\in N_i}{w}_{ij}\left(\left({\xi }_i(t)-h_i(t)\right)-\left({\xi }_j(t)-h_j(t)\right)\right)\\ & -\alpha h_i(t)+{\dot{h}}_{iv}(t)\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$ 令$\xi (t)={\left[{\bar{\xi }}_1^T(t),{\bar{\xi }}_2^T(t),\cdots ,{\bar{\xi }}_g^T(t)\right]}^T,B_1=[1,0{]}^T,B_2=[0,1{]}^T$，则公式(1)描述的智能体动态方程可写成系统的运动方程如下： $$\begin{array}{rl}\dot{\xi }(t)=& \left(I_N\otimes \left(B_1{B}_2^T+B_2\alpha \right)+L\otimes B_{2}K\right)\xi (t)\\ & -\left(I_N\otimes B_2\alpha +L\otimes B_{2}K\right)h(t)\\ & +\left(I_N\otimes B_2{B}_2^T\right)\dot{h}(t)\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$ 下面主要探讨两个问题：一是在什么条件下时变分簇编队$h(t)$是可实现的？二是如何设计（3）式描述的分簇编队控制协议。

1.3 主要结论

本节首先给出基于有向通信拓扑的群系统(4)实现由$h(t)$确定分簇时变编队的充分条件，然后给出编队参考函数的显式表达式，最后给出分簇编队控制协议的设计方法。

定义${\phi }_i(t)={\xi }_i(t)-h_i(t)(i=1,2,\cdots ,N),{\bar{\phi }}_{\bar{i}}(t)={\left[{\phi }_{{\Xi }_i+1}^T(t),{\phi }_{{\Xi }_i+2}^T(t),\cdots ,{\phi }_{{\Xi }_i+q_i}^T(t)\right]}^T(\bar{i}=1,2,\cdots ,g)$以及$\phi (t)={\left[{\bar{\phi }}_1^T(t),{\bar{\phi }}_2^T(t),\cdots ,{\bar{\phi }}_g^T(t)\right]}^T$，那么(4)式可改为： $$\begin{array}{rl}\dot{\phi }(t)=& \left(I_N\otimes \left(B_1{B}_2^T+B_2\alpha \right)+L\otimes B_{2}K\right)\phi (t)\\ & +\left(I_N\otimes B_1{B}_2^T\right)h(t)-\left(I_N\otimes B_1{B}_1^T\right)\dot{h}(t)\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$其中，$K=[k_{11},k_{12}],\alpha =[{\alpha }_x,{\alpha }_y]$。 令${\lambda }_i(i=1,2,\cdots ,N)$是$L$的特征值，由定理1，$L$有$g$个零特征值，令${\lambda }_{\bar{i}}=0(\bar{i}=1,2,\cdots ,g)$，对应的特征向量为$u_1={\left[1_{q_1}^T,0_{N-q_1}^T\right]}^T,u_2={\left[0_{q_1}^T,1_{q_2}^T,0_{N-q_1-q_2}^T\right]}^T,\cdots ,u_g={\left[0_{N-q_g}^T,1_{q_g}^T\right]}^T$，并且有$0<\mathrm{Re}\left({\lambda }_{g+1}\right)⩽\cdots ⩽\mathrm{Re}\left({\lambda }_N\right).$ 令 $U^{-1}LU=J$，其中$U=\left[u_1,u_2,\cdots ,u_N\right],U^{-1}={\left[{\tilde{u}}_1^H,{\tilde{u}}_2^H,\cdots ,{\tilde{u}}_N^H\right]}^H$，$J$是$L$的约当标准型，且$J=\mathrm{diag}\left\{0_g,\bar{J}\right\}$，$\bar{J}$与${\lambda }_i(i=g+1,g+2,\cdots ,N)$相关。定义$\vartheta (t)=\left(U^{-1}\otimes I_2\right)\phi (t)={\left[{\vartheta }_1^H,{\vartheta }_2^H,\cdots ,{\vartheta }_N^H\right]}^H$，$\zeta (t)={\left[{\vartheta }_{g+1}^H,{\vartheta }_{g+2}^H,\cdots ,{\vartheta }_N^H\right]}^H,\bar{U}=\left[u_{g+1},u_{g+2},\cdots ,u_N\right]$，$\tilde{U}={\left[{\tilde{u}}_{g+1}^H,{\tilde{u}}_{g+2}^H,\cdots ,{\tilde{u}}_N^H\right]}^H$，然后群系统(5)就可以被分解为下面的(6)式和(7)式： $$\{\begin{array}{l}{\dot{\vartheta }}_1(t)=\left(B_1{B}_2^T+B_2\alpha \right){\vartheta }_1(t)+\left({\tilde{u}}_1\otimes B_1\right)\left(h_v(t)-{\dot{h}}_x(t)\right)\\ ⋮\\ {\dot{\vartheta }}_g(t)=\left(B_1{B}_2^T+B_2\alpha \right){\vartheta }_g(t)+\left({\tilde{u}}_1\otimes B_1\right)\left(h_v(t)-{\dot{h}}_x(t)\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$ $$\begin{array}{rl}\dot{\zeta }(t)=(& I_{N-g}\otimes \left(B_1{B}_2^T+B_2\alpha \right)+\bar{J}\otimes BK)\zeta (t)\\ & +\left(\tilde{U}\otimes B_1\right)\left(h_v(t)-{\dot{h}}_x(t)\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

注：上述变换过程利用了状态空间分解法，其中(6)式是群系统的一致部分，(7)式是不一致部分。

翻译实在太费劲了，下面直接截图吧。

引理2³中$f(s)$是$M$的特征多项式，引理给出了M与系统$\dot{X}=MX$渐近稳定之间的关系。

定理1中${\alpha }_1,{\alpha }_2$就是前面的${\alpha }_x,{\alpha }_y$，定理1给出了实现时变分簇编队的可行条件。

. .

.定理2给出了编队参考函数的显式表达式。 . .

今天学习时间：

今天上午和晚上都分析论文了，下午集体开会，整理了下宿舍卫生。论文这一块开始想着是做一个阅读笔记，但目前尚未探索出合适的记录方式，感觉现在这种类翻译的方式还是效率太低，后续再考虑其他方法做笔记吧。

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J. H. Qin, C. B. Yu, Cluster consensus control of generic linear multi-agent systems under directed topology with acyclic partition, Automatica, 49(9): 2898-2905, 2013. ↩︎

J. Liu, J. C. Ji, J. Zhou, L. Xiang, L. Y. Zhao, Adaptive group consensus in uncertain networked Euler-Lagrange systems under directed topology, Nonlinear Dynamics, 82(3): 1145-1157, 2015. ↩︎

Z. Zahreddine, E. F. Elshehawey, On the stability of a system ofdifferential equations with complex coefficients, Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 19(10): 963-972, 1988… ↩︎