一段时间没复习总是忘，做个笔记存个档方便下次回来看
单位元：
在一个群里，和其他任何一个元素相结合，都不会改变那个元素的特殊元素。加法的单位元是0，乘法的单位元是1。
循环群：
设<G, ·>是一个群，I是整数集合。如果存在一个元素g∈G，对于每一个元素a∈G都有一个相应的i∈I，能把a表示成gi形式，则称<G，·>是一个循环群。g是<G，·>的生成元。
循环群的定义包含了以下几个信息：可以生成群中包括其自身的所有元素的g；对于群里任意一个元素，g通过自运算变成这个元素的次数i。
元素的阶：
设<G, ·>是群,若a∈G,使得a的k次方=e成立的最小正整数k成为a的阶,记做|a|。
定理 设<G, ·>是由g∈G生成的有限循环群，如果|G|=n，则gn=e， G={g，g2，g3，…，gn=e} 且n是使gn=e的最小正整数。
该定理的意思是，g作为生成元，自运算其生成群G的元素个数的次数，会变成群的单位元。而且，g的每次自运算结果都不同，分别对应每个群元素。到g自运算变成单位元为止是一个周期。这个得到单位元的自运算次数是g得到群单位元的最小自运算次数（或者说一个周期长度）。
首先理解为什么必须是gn=e。n是群元素个数，或者说群阶数，都行。自运算次数不能小于群元素个数吗？那么假设有m<n，然后 g m = e g^m=e gm=e，那么对于任意一个数 k m + r km+r km+r， g k m + r = g k m ⋅ g r = e ⋅ g r = g r g^{km+r}=g^{km}·g^r=e·g^r=g^r gkm+r=gkm⋅gr=e⋅gr=gr；这意味着，所有的元素都可以表示成gr，由于r<m，整个群最多只会有m个不同的元素，这和n个不同元素的前提是相悖的。 举个例子：假如m<n， g m + 1 = g ， g m + 2 = g 2 ， g m + 3 = g 3 , . . . , g m + m = g 2 m = ( g m ) 2 = e 2 = e ， g m + m + 1 = g g^{m+1}=g，g^{m+2}=g^2，g^{m+3}=g^3,...,g^{m+m}=g^{2m}=(g^m)^2=e^2=e，g^{m+m+1}=g gm+1=g，gm+2=g2，gm+3=g3,...,gm+m=g2m=(gm)2=e2=e，gm+m+1=g，到自运算m次得出单位元为止，完成一个循环，m就是周期长度，表示一个周期内不同元素个数。所以自运算到得出单位元时的那个幂标志着周期的终点，它必须且只能等于这个群的阶数，这样才能满足且闭合循环群的定义。 m>n的情况同理，也是不可能的。
由上面的定理，我们察觉到，元素的阶和元素本身是有联系的，元素的阶在特定条件下是有意义的。比如对于生成元来说，元素的阶就等于群阶。那么对于其他的元素，是否具有类似规律？
定理 如果群<G，·>的元素a拥有一个有限阶n，则ak=e，当且仅当k是n的倍数。
（本定理本是有限群的普遍定理，现在放在循环群里研究验证特殊的性质） 可以先拿模8加群作为研究对象，看看其规律； 模8加群的元素有：
0，1，2，3，4，5，6，7，其中0是单位元
先看生成元，按照生成元的定义，其必须在8次自运算内不重复地生成群内所有元素。
元素\i12345678000000000112345670224602460336147250440404040552741630664206420776543210可以看到，能完整生成所有群元素的只有1，3，5，7。其他元素如2，4，6只能生成部分元素，且能够生成的元素范围也不同。如下表所示：
元素1234567阶数8482848可以发现，元素的阶数都是群阶数的公因子。当元素和群阶数互素时，元素阶数是最大公因子，也就是群阶数。
为什么会出现这种情况？ 其实细想道理很简单，首先，如果在n次幂运算后等于单位元，对于模8加法群来说，就是一个数自加8次，最后结果是8的倍数，或者说可以整除8。这当然是句废话。看表就知道，所有元素最后一列的运算结果都是单位元。正因为如此，和8有公因子的元素就显得特殊了，比如元素6，6和8的最小公倍数是24，这意味着，当6自加到24时就能整除8得到单位元，此时就完成了一个周期的闭合，所以它的元素阶数一定是小于8的，而且必然是可以被群阶8整除的一个数（因为两个整数的最小公倍数除掉两个中的任意一个，结果都可以被另一个数整除，证明如下）。
证明：设有任意整数a,b，另其最大公约数d，且a=dm，b=dn(m,n为整数)； 对于最小公倍数e，e=ab/d=dm·dn/d=mnd； 故e/a=n=b/d，e/b=m=a/d.
如果元素和8互素，那按照上面总结出的规律，最小公倍数只能是元素和8的乘积，元素的阶也只能是8。 总结一下循环群的规律，就是：循环群里的每个元素都有阶，每个元素的阶都能被群阶整除。
附上模8加法表：
+01234567001234567112345670223456701334567012445670123556701234667012345770123456然而，还有没被详细说明的几个可能存在额问题需要进行补充： 首先，循环群中的元素都是有限阶吗？ 答：是的。证明如下：
证明：对群内任意一个元素a=gi，an=gni=ei=e，故任意一个有限群内的元素，必有有限阶。
问2：有没有这样一种可能:，即一个元素的阶次运算内，会出现除了单位元以外的重复结果？比如元素a的阶为3，3次运算结果是b，b，e ？ 答： 不可能出现这种情况。因为结合运算的逆元唯一，所以群内所有元素逆元唯一，所以对于任何元素a，只存在唯一一个b使得a·b=c，所以对于群运算表中任意一行（列）中所含的任意元素不可能多于一次。设有任意元素a，其阶为n，设n>t>i，且ai=at。可以推论 ai-1=at-1…a0=at-i，所以at-i=e，t-i>0，由于t-i<n，和前提相悖，所以该命题不成立。
定理 如果<G，·>是一个群，则对于任何a，b，c∈G, a·b = a·c ——> b=c b·a = c·a ——> b=c
定理 群<G，·>的运算表中的每一行或每一列都是G中元素的一个置换。
综上：对于一个循环群，任意一个元素都能生成一个循环子群，且子群的阶可以被群阶整除（或者表述为，任何元素的阶都是群阶的因子）；如果是加法群，与群阶互素的元素生成的子群就是循环群本身。
