全排列的置换以及群的基础知识点可以在网上看一看。 https://wenku.baidu.com/view/7b373e6b561252d380eb6ee5.html#
题目：POJ-2369 题意：给定一个置换，
问多少次可以回到原来的顺序。
发现每个数都是一个环(或者是群的概念理解)，找循环节长度，周期倍数回到原来的地方，求lcm。
#include<cmath> #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<cstdlib> #include<istream> #include<vector> #include<stack> #include<set> #include<map> #include<algorithm> #include<queue> #define inf 0x3f3f3f3f #define llinf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f using namespace std; typedef unsigned long long ll; const int MAX=1e6+5; int a[1010]; int to[1010],vis[1010]; vector<int>G; void dfs(int p) { vis[p]=1; G.push_back(a[p]); if(!vis[to[p]]) dfs(to[p]); } int gcd(int a,int b) { if(!b) return a; else return gcd(b,a%b); } int main() { int n; while(~scanf("%d",&n)) { memset(vis,0,sizeof(vis)); for(int i=1;i<=n;++i) { scanf("%d",&a[i]); to[i]=a[i]; } int res=1; for(int i=1;i<=n;i++) { G.clear(); if(!vis[i]) { dfs(i); res=res/gcd(res,G.size())*G.size(); } } G.clear(); printf("%d\n",res); } return 0; }题目：Just Shuffle 题意：给定了一个置换P，原序列置换k次变成了给你的A数组， B k = A , B 未 知 B^k=A,B未知 Bk=A,B未知，求 B 1 B^1 B1。
我们已经知道了k次置换的数组,同上一题目，我们首先求出了循环节, k ∗ x ≡ 1 ( m o d l e n ) , l e n 表 示 为 循 环 节 的 长 度 。 {k*x}\equiv1\pmod{len},len表示为循环节的长度。 k∗x≡1(modlen),len表示为循环节的长度。 等于求一个逆元。
#include<cmath> #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<cstdlib> #include<istream> #include<vector> #include<stack> #include<set> #include<map> #include<algorithm> #include<queue> #define inf 0x3f3f3f3f #define llinf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f using namespace std; typedef long long ll; typedef double lld; typedef pair<ll,ll> PP; const int MAXN=2e3+4; int a[100010]; int vis[100010],ans[100010],to[100010]; vector<int>G; void dfs(int p) { vis[p]=1; G.push_back(a[p]); if(!vis[to[p]]) dfs(to[p]); } int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y) { if(b==0) { x=1,y=0; return a; } int t=ex_gcd(b,a%b,x,y); int temp=y; y=x-(a/b)*y; x=temp; return t; } void solve(int k) { int len=G.size(); int x,y; int g=ex_gcd(k,len,x,y); x=(x%len+len)%len; for(int i=0;i<len;++i) { ans[G[i]]=G[(i+x)%len]; } } int main() { ll n,k; scanf("%lld %lld",&n,&k); for(int i=1;i<=n;++i) { scanf("%d",&a[i]); to[i]=a[i]; } for(int i=1;i<=n;++i) { if(!vis[i]) { G.clear(); int tmp=i; while(!vis[tmp]) { vis[tmp]=1; G.push_back(tmp); tmp=a[tmp]; } solve(k); } } for(int i=1;i<=n;++i) { printf("%d ",ans[i]); } return 0; }题目：Bogo Sort 题意：给你一个置换，1-n这n个数有多少种排列，能经过任意次p的置换变为顺序序列？答案对10^N取模。
也相当于1-n的序列以这个置换能组成多少种排列，lcm(各个环的长度)+大数模板。
#include<cmath> #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<cstdlib> #include<istream> #include<vector> #include<stack> #include<set> #include<map> #include<algorithm> #include<queue> #define inf 0x3f3f3f3f #define llinf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f using namespace std; typedef long long ll; #define MAXN 9999 #define MAXSIZE 10 #define DLEN 4 class BigNum { private: int a[1000]; //可以控制大数的位数 int len; //大数长度 public: BigNum(){ len = 1;memset(a,0,sizeof(a)); } //构造函数 BigNum(const int); //将一个int类型的变量转化为大数 BigNum(const char*); //将一个字符串类型的变量转化为大数 BigNum(const BigNum &); //拷贝构造函数 BigNum &operator=(const BigNum &); //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算 friend istream& operator>>(istream&, BigNum&); //重载输入运算符 friend ostream& operator<<(ostream&, BigNum&); //重载输出运算符 BigNum operator+(const BigNum &) const; //重载加法运算符，两个大数之间的相加运算 BigNum operator-(const BigNum &) const; //重载减法运算符，两个大数之间的相减运算 BigNum operator*(const BigNum &) const; //重载乘法运算符，两个大数之间的相乘运算 BigNum operator/(const int &) const; //重载除法运算符，大数对一个整数进行相除运算 BigNum operator^(const int &) const; //大数的n次方运算 int operator%(const int &) const; //大数对一个int类型的变量进行取模运算 bool operator>(const BigNum & T)const; //大数和另一个大数的大小比较 bool operator>(const int & t)const; //大数和一个int类型的变量的大小比较 void print(); //输出大数 }; BigNum::BigNum(const int b) //将一个int类型的变量转化为大数 { int c,d = b; len = 0; memset(a,0,sizeof(a)); while(d > MAXN) { c = d - (d / (MAXN + 1)) * (MAXN + 1); d = d / (MAXN + 1); a[len++] = c; } a[len++] = d; } BigNum::BigNum(const char*s) //将一个字符串类型的变量转化为大数 { int t,k,index,l,i; memset(a,0,sizeof(a)); l=strlen(s); len=l/DLEN; if(l%DLEN) len++; index=0; for(i=l-1;i>=0;i-=DLEN) { t=0; k=i-DLEN+1; if(k<0) k=0; for(int j=k;j<=i;j++) t=t*10+s[j]-'0'; a[index++]=t; } } BigNum::BigNum(const BigNum & T) : len(T.len) //拷贝构造函数 { int i; memset(a,0,sizeof(a)); for(i = 0 ; i < len ; i++) a[i] = T.a[i]; } BigNum & BigNum::operator=(const BigNum & n) //重载赋值运算符，大数之间进行赋值运算 { int i; len = n.len; memset(a,0,sizeof(a)); for(i = 0 ; i < len ; i++) a[i] = n.a[i]; return *this; } istream& operator>>(istream & in, BigNum & b) //重载输入运算符 { char ch[MAXSIZE*4]; int i = -1; in>>ch; int l=strlen(ch); int count=0,sum=0; for(i=l-1;i>=0;) { sum = 0; int t=1; for(int j=0;j<4&&i>=0;j++,i--,t*=10) { sum+=(ch[i]-'0')*t; } b.a[count]=sum; count++; } b.len =count++; return in; } ostream& operator<<(ostream& out, BigNum& b) //重载输出运算符 { int i; cout << b.a[b.len - 1]; for(i = b.len - 2 ; i >= 0 ; i--) { cout.width(DLEN); cout.fill('0'); cout << b.a[i]; } return out; } BigNum BigNum::operator+(const BigNum & T) const //两个大数之间的相加运算 { BigNum t(*this); int i,big; //位数 big = T.len > len ? T.len : len; for(i = 0 ; i < big ; i++) { t.a[i] +=T.a[i]; if(t.a[i] > MAXN) { t.a[i + 1]++; t.a[i] -=MAXN+1; } } if(t.a[big] != 0) t.len = big + 1; else t.len = big; return t; } BigNum BigNum::operator-(const BigNum & T) const //两个大数之间的相减运算 { int i,j,big; bool flag; BigNum t1,t2; if(*this>T) { t1=*this; t2=T; flag=0; } else { t1=T; t2=*this; flag=1; } big=t1.len; for(i = 0 ; i < big ; i++) { if(t1.a[i] < t2.a[i]) { j = i + 1; while(t1.a[j] == 0) j++; t1.a[j--]--; while(j > i) t1.a[j--] += MAXN; t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i]; } else t1.a[i] -= t2.a[i]; } t1.len = big; while(t1.a[len - 1] == 0 && t1.len > 1) { t1.len--; big--; } if(flag) t1.a[big-1]=0-t1.a[big-1]; return t1; } BigNum BigNum::operator*(const BigNum & T) const //两个大数之间的相乘运算 { BigNum ret; int i,j,up; int temp,temp1; for(i = 0 ; i < len ; i++) { up = 0; for(j = 0 ; j < T.len ; j++) { temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up; if(temp > MAXN) { temp1 = temp - temp / (MAXN + 1) * (MAXN + 1); up = temp / (MAXN + 1); ret.a[i + j] = temp1; } else { up = 0; ret.a[i + j] = temp; } } if(up != 0) ret.a[i + j] = up; } ret.len = i + j; while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1) ret.len--; return ret; } BigNum BigNum::operator/(const int & b) const //大数对一个整数进行相除运算 { BigNum ret; int i,down = 0; for(i = len - 1 ; i >= 0 ; i--) { ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1)) / b; down = a[i] + down * (MAXN + 1) - ret.a[i] * b; } ret.len = len; while(ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1) ret.len--; return ret; } int BigNum::operator %(const int & b) const //大数对一个int类型的变量进行取模运算 { int i,d=0; for (i = len-1; i>=0; i--) { d = ((d * (MAXN+1))% b + a[i])% b; } return d; } BigNum BigNum::operator^(const int & n) const //大数的n次方运算 { BigNum t,ret(1); int i; if(n<0) exit(-1); if(n==0) return 1; if(n==1) return *this; int m=n; while(m>1) { t=*this; for( i=1;i<<1<=m;i<<=1) { t=t*t; } m-=i; ret=ret*t; if(m==1) ret=ret*(*this); } return ret; } bool BigNum::operator>(const BigNum & T) const //大数和另一个大数的大小比较 { int ln; if(len > T.len) return true; else if(len == T.len) { ln = len - 1; while(a[ln] == T.a[ln] && ln >= 0) ln--; if(ln >= 0 && a[ln] > T.a[ln]) return true; else return false; } else return false; } bool BigNum::operator >(const int & t) const //大数和一个int类型的变量的大小比较 { BigNum b(t); return *this>b; } void BigNum::print() //输出大数 { int i; cout << a[len - 1]; for(i = len - 2 ; i >= 0 ; i--) { cout.width(DLEN); cout.fill('0'); cout << a[i]; } cout << endl; } int a[100010]; int to[100010],vis[100010]; vector<int>G; void dfs(int p) { vis[p]=1; G.push_back(a[p]); if(!vis[to[p]]) dfs(to[p]); } int gcd1(int x, int y) { return y ? gcd1(y, x % y) : x; } int gcd(BigNum x, int y) { return gcd1(y, x % y); } BigNum lcm(BigNum ans, int res) { return ans / gcd(ans, res) * res; } int main() { int n; scanf("%d",&n); memset(vis,0,sizeof(vis)); for(int i=1;i<=n;++i) { scanf("%d",&a[i]); to[i]=a[i]; } BigNum res=BigNum(1); for(int i=1;i<=n;i++) { if(!vis[i]) { dfs(i); res=lcm(res,G.size()); G.clear(); } } res.print(); return 0; }