本文旨在介绍一些在CFD学习过程中遇到的数学运算规则，现简单整理如下。还有待后续补充。
高斯定理将微分方程和积分方程联系在一起。对于微元体来说，我们可以利用高斯定理把体积积分转变为面积分。
其基本形式如下：
∫ V （ ∇ ⋅ a ） d V = ∮ S a ⋅ n d S (1) \int_V（\nabla\cdot\mathbf a）dV=\oint_S\mathbf a \cdot\mathbf n\;d S \tag1 ∫V（∇⋅a）dV=∮Sa⋅ndS(1)
上式建立了向量场 a 的散度与曲面的通量之间的关系。
物质导数可用于任何流场变化，其基本形式如下;
D ϕ D t = ∂ ϕ ∂ t + ∇ ⋅ ( U ϕ ) (2) \frac{D\phi}{D t}=\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot(\mathbf U\phi)\tag2 DtDϕ=∂t∂ϕ+∇⋅(Uϕ)(2)
对于不可压缩流：
D ϕ D t = ∂ ϕ ∂ t + U ⋅ ∇ ϕ + ϕ ( ∇ ⋅ U ) ⏟ c o n t i n u i t y = 0 (3) \frac{D\phi}{D t}=\frac{\partial\phi}{\partial t}+\mathbf U\cdot\nabla\phi+\phi\underbrace{(\nabla\cdot\mathbf U)}_{continuity=0}\tag3 DtDϕ=∂t∂ϕ+U⋅∇ϕ+ϕcontinuity=0 (∇⋅U)(3)
对于可压缩流： ρ D ϕ D t = ρ [ ∂ ϕ ∂ t + U ⋅ ∇ ϕ ] + ϕ ( ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ U ) ⏟ c o n t i n u i t y = 0 (4) \rho\frac{D\phi}{D t}=\rho\left[\frac{\partial\phi}{\partial t}+\mathbf U\cdot\nabla\phi\right]+\phi\;\underbrace{(\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf U)}_{continuity=0}\tag4 ρDtDϕ=ρ[∂t∂ϕ+U⋅∇ϕ]+ϕcontinuity=0 (∂t∂ρ+∇⋅U)(4)
综上， D ϕ D t = ∂ ϕ ∂ t + U ⋅ ∇ ϕ (5) \frac{D\phi}{D t}=\frac{\partial\phi}{\partial t}+\mathbf U\cdot\nabla\phi\tag5 DtDϕ=∂t∂ϕ+U⋅∇ϕ(5)
ϕ \phi ϕ 可以是标量（scalar），也可以是矢量（vector）； ∂ ∂ t \frac{\partial}{\partial t} ∂t∂：当地导数，表示固定点处的时间变化率； U ⋅ ∇ \mathbf U\cdot\nabla U⋅∇：迁移导数，表示流体微团从流场一点运动到另一点时，由于流场空间不均匀性引起的时间变化率。更多关于张量计算的公式请查看CFD张量公式
