高精度乘积最大问题
题目描述
今年是国际数学联盟确定的“2000――世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰9090周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：
设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。
同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：
有一个数字串：312， 当N=3,K=1时会有以下两种分法：
1、3×12=36 2、31×2=62
这时，符合题目要求的结果是: 31×2=62
现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。
输入格式
程序的输入共有两行：
第一行共有2个自然数N,K（6≤N≤40,1≤K≤6）
第二行是一个长度为N的数字串。
输出格式
结果显示在屏幕上，相对于输入，应输出所求得的最大乘积（一个自然数）。
输入输出样例
输入 #1
4 2
1231
输出 #1
62
解题思路
可以看到，输入的自然数N可以非常大，最多有40位，所以需要用到高精度乘积，也就是模拟手算时列竖式的方式，大家可以看下面这篇文章了解更多关于高精度的东西。
C++之高精度算法
用高精度计算，可以把储存数的数组再加一维保存数字的位数。
解这道题不难看出可以用动态规划，最终的最大值可以理解成这段数分成两段，第一段是n段数乘积的最大值，第二段是剩余的一段数，然后这个n段数乘积的最大值又可以按照同样的分法继续分割，直到最后只剩一段。
用数组a[i][j][0]表示原自然数从第i位到第j位的一段数，第三维0号位保存数字位数
dp[i][j]表示将前i个数分成j段的乘积最大值，那么状态转移方程可以写成dp[i][j]=max(dp[k-1][j-1]*a[k][i]),目标状态为dp[n][k+1]
完整代码
#include <iostream>
using namespace std
;
int a
[200][200][200],dp
[200][200][200];
int n
,k
;
int cj(int x
,int y
,int z
)
{
int res
[200]={0};
for(int i
=1;i
<=a
[z
][x
][0];i
++)
{
for(int j
=1;j
<=dp
[z
-1][y
-1][0];j
++)
{
res
[i
+j
-1]=res
[i
+j
-1]+a
[z
][x
][i
]*dp
[z
-1][y
-1][j
];
}
}
for(int i
=1;i
<=100;i
++)
{
if(res
[i
]) res
[0]=i
;
res
[i
+1]=res
[i
+1]+res
[i
]/10;
res
[i
]=res
[i
]%10;
}
if(res
[0]<dp
[x
][y
][0]) return 0;
for(int i
=res
[0];i
>=0;i
--)
{
if(i
==0) return 2;
if(res
[i
]>dp
[x
][y
][i
]) break;
if(res
[i
]<dp
[x
][y
][i
]) return 1;
}
for(int i
=res
[0];i
>=0;i
--)
{
dp
[x
][y
][i
]=res
[i
];
}
return -1;
}
int main()
{
cin
>>n
>>k
;
char c
;
a
[1][n
][0]=n
;
for(int i
=1;i
<=n
;i
++)
{
cin
>>c
;
a
[1][n
][n
-i
+1]=c
-'0';
}
for(int i
=1;i
<=n
;i
++)
{
for(int j
=i
;j
<=n
;j
++)
{
a
[i
][j
][0]=j
-i
+1;
for(int q
=1;q
<=a
[i
][j
][0];q
++)
{
a
[i
][j
][q
]=a
[1][n
][q
+i
-1];
}
}
}
for(int i
=1;i
<=n
;i
++)
{
for(int j
=1;j
<=i
&&j
<=k
+1;j
++)
{
if(j
==1)
{
dp
[i
][j
][0]=i
;
for(int z
=1;z
<=i
;z
++)
{
dp
[i
][j
][z
]=a
[1][i
][z
];
}
}
for(int z
=i
;z
>=j
-1;z
--)
{
cj(i
,j
,z
);
}
}
}
for(int i
=dp
[n
][k
+1][0];i
>=1;i
--)
{
cout
<<dp
[n
][k
+1][i
];
}
return 0;
}
