定义：

给定正整数n，φ(n) = 不大于n且和n互质的正整数的个数(包括1)。如 φ(1)=1, φ(2)=1

性质1：

若p为素数，则 φ( p)=p-1 （显然，每个小于它的数都与它互质）

性质2：

若p为素数，正整数 n = p^k 则 φ(n) = p^k - p^k-1 , 或写为 φ(n) = p^k-1(p-1) = p^k(1- $\frac{1}{p}$)

性质3：

两个素数 p,q，正整数 n = p*q，则 φ(n) = (p-1)*(q-1) 若正整数p,q互质，正整数 n = p*q，则φ(n)=φ( p)*φ(q)

性质4：

若b是质数，且b|a，则 φ(ab)=φ(a)*b

性质5：

令任意正整数 𝑛 = $p_1^{a_1}$$p_2^{a_2}$ … $p_m^{a_m}$ (𝑝_𝑖为素数) ，则 φ(n) = n*(1-$\frac{1}{p_1}$)*(1-$\frac{1}{p_2}$)*…*(1-$\frac{1}{p_m}$) 即φ(n)=n${\prod }_{i=1}^m(1-\frac{1}{p_i})$

性质6：

欧拉函数的递推计算公式：对于x的质因子p，满足 p|x，若 p²|x 不成立，则 φ(x)=φ($\frac{x}{p}$)*(p-1) ；若 p²|x 成立，则 φ(x)=φ($\frac{x}{p}$)*p；

性质7：

整数n 等于n的所有约数（包括1和n）的欧拉函数之和 𝑛 = ${\sum }_{d|n}\phi (d)$

性质8：

正整数n，所有小于n且与n互质的数的和是 n∗φ(n)/2

性质9：

两个正整数a,b， d=gcd(a,b)，则𝜑(𝑎𝑏)= $\frac{\phi (a)\phi (b)d}{\phi (d)}$