代数函数与超越函数，域的代数扩张， 基本的初等函数：有理函数，代数函数，指数函数，对数函数，三角函数 s i n x = ( e i x − e − i x ) / 2 sinx=(e^{ix}-e^{-ix})/2 sinx=(eix−e−ix)/2 a r c t a n = 1 2 i l n 1 + i x 1 − i x arctan=\frac{1}{2i}ln \frac{1+ix}{1-ix} arctan=2i1ln1−ix1+ix a r c s i n = − i l n ( x ( + / − ) x 2 − 1 ) arcsin=-iln(x(+/-) \sqrt {x^2-1 }) arcsin=−iln(x(+/−)x2−1 )
初 等 函 数 a ∈ K ， y ′ = a ∣ ∣ y ∈ K 初 等 函 数 的 扩 域 中 则 a = ∑ i = 1 n c i u i ′ u i + v ′ c i 是 常 数 u i ∈ K , v ∈ K y = ∑ i = 1 n c i l n ( u i ) + v 初等函数a\in K，y'=a||y\in K初等函数的扩域中\\ 则a=\sum_{i=1}^{ n}c_i \frac{u_i'}{u_i}+v'\\ c_i 是常数 u_i\in K,v\in K\\ y=\sum_{i=1}^{ n}c_i ln(u_i)+v 初等函数a∈K，y′=a∣∣y∈K初等函数的扩域中则a=i=1∑nciuiui′+v′ci是常数ui∈K,v∈Ky=i=1∑nciln(ui)+v
当n=0时： 取y=v 设当n-1时成立，则：
从三类函数的角度来证明定理：
刘维尔定理2： f , g 是 有 理 多 项 式 ， f ( x ) ∗ e g ( x ) 存 在 初 等 原 函 数 i f f f = b ′ + b g ′ , b ∈ K = C ( z ) f,g是有理多项式，f(x)*e^{g(x)}存在初等原函数 \qquad iff \qquad f=b'+bg',b\in K =C(z) f,g是有理多项式，f(x)∗eg(x)存在初等原函数ifff=b′+bg′,b∈K=C(z)
2.所以要处理的只有自然的指数函数对数函数 2.1 多项式函数相除后求导仍然是有理函数 2.2 代数函数的求导： 域 张 对 应 的 代 数 函 数 ∑ 0 n a n ( x ) y n 的 求 导 仍 然 是 代 数 函 数 域张对应的代数函数\sum_{0}^{ n}a_n(x)y^n 的求导仍然是代数函数 域张对应的代数函数0∑nan(x)yn的求导仍然是代数函数 2.3 y= lnx的求导： y ′ = 1 x ∗ x ′ , x ∈ K → y ′ = x ′ x ∈ 起 始 域 K ， （ x ∈ K ） y'=\frac{1}{x}*x' ,x\in K \rightarrow y'=\frac{x' }{x} \in 起始域K，（x\in K） y′=x1∗x′,x∈K→y′=xx′∈起始域K，（x∈K） 2.4 y = e x , y ′ = y ∗ x ′ , 因 为 y = e x , 所 以 y 也 属 于 K ， y ’ 也 属 于 K y=e^x ,y'=y*x' ,因为y=e^x,所以y也属于K，y’也属于K y=ex,y′=y∗x′,因为y=ex,所以y也属于K，y’也属于K
