2020 Multi-University Training Contest 5----HDU--6822、Paperfolding （期望）

题目链接

题面：

题意： 给定一张纸，等概率的左右对折或者上下对折，对折 $n$ 后，我沿着垂直轴剪一刀，沿着水平轴剪一刀，会分为多个碎片，问碎片个数的期望 。

题解： 我们转换一下模型，如果一次也不折叠，相当于竖着剪了一刀，横着剪了一刀。 每左右折叠一次，都相当于竖着剪的次数翻倍；每上下折叠一次，相当于横着剪得次数翻倍。

如果 $n$ 次中有 $i$ 次是左右折叠的，那么最终的碎片总数应该为 $(2^i+1)\ast (2^{n-i}+1)$

所以，期望为 $\frac{1}{2^n}\ast \sum _{i=1}^n{C}_n^i(2^i+1)\ast (2^{n-i}+1)$

可以化简为：$\frac{1}{2^n}\ast (2^{2\ast n}+2^n+2\ast 3^n)$

代码：

#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath> #include<string> #include<queue> #include<bitset> #include<map> #include<unordered_map> #include<unordered_set> #include<set> #include<ctime> #define ui unsigned int #define ll long long #define llu unsigned ll #define ld long double #define pr make_pair #define pb push_back #define lc (cnt<<1) #define rc (cnt<<1|1) #define len(x) (t[(x)].r-t[(x)].l+1) #define tmid ((l+r)>>1) #define fhead(x) for(int i=head[(x)];i;i=nt[i]) #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y)) #define min(x,y) ((x)>(y)?(y):(x)) using namespace std; const int inf=0x3f3f3f3f; const ll lnf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f; const double dnf=1e18; const double alpha=0.75; const int mod=998244353; const double eps=1e-8; const double pi=acos(-1.0); const int hp=13331; const int maxn=1100; const int maxm=100100; const int maxp=100100; const int up=1100; ll mypow(ll a,ll b) { ll ans=1; b%=mod-1; while(b) { if(b&1) ans=ans*a%mod; a=a*a%mod; b>>=1; } return ans; } int main(void) { int tt; scanf("%d",&tt); while(tt--) { ll n; scanf("%lld",&n); printf("%lld\n",(mypow(2,2*n)+mypow(2,n)+2*mypow(3,n))*mypow(mypow(2,n),mod-2)%mod); } return 0; }