『拓扑排序』[HNOI2015]菜肴制作

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}$

知名美食家小 A被邀请至ATM 大酒店，为其品评菜肴。 ATM 酒店为小 A 准备了 N 道菜肴，酒店按照为菜肴预估的质量从高到低给予1到N的顺序编号，预估质量最高的菜肴编号为1。

由于菜肴之间口味搭配的问题，某些菜肴必须在另一些菜肴之前制作，具体的，一共有 M 条形如”i 号菜肴’必须’先于 j 号菜肴制作“的限制，我们将这样的限制简写为<i,j>。

现在，酒店希望能求出一个最优的菜肴的制作顺序，使得小 A能尽量先吃到质量高的菜肴：

也就是说，

(1)在满足所有限制的前提下，1 号菜肴”尽量“优先制作；

(2)在满足所有限制，1号菜肴”尽量“优先制作的前提下，2号菜肴”尽量“优先制作；

(3)在满足所有限制，1号和2号菜肴”尽量“优先的前提下，3号菜肴”尽量“优先制作

；(4)在满足所有限制，1 号和 2 号和 3 号菜肴”尽量“优先的前提下，4 号菜肴”尽量“优先制作；

(5)以此类推。

例1：共4 道菜肴，两条限制<3,1>、<4,1>，那么制作顺序是 3,4,1,2。

例2：共5道菜肴，两条限制<5,2>、 <4,3>，那么制作顺序是 1,5,2,4,3。

例1里，首先考虑 1，因为有限制<3,1>和<4,1>，所以只有制作完 3 和 4 后才能制作 1，而根据(3)，3 号又应”尽量“比 4 号优先，所以当前可确定前三道菜的制作顺序是 3,4,1；接下来考虑2，确定最终的制作顺序是 3,4,1,2。

例 2里，首先制作 1是不违背限制的；接下来考虑 2 时有<5,2>的限制，所以接下来先制作 5 再制作 2；接下来考虑 3 时有<4,3>的限制，所以接下来先制作 4再制作 3，从而最终的顺序是 1,5,2,4,3。 现在你需要求出这个最优的菜肴制作顺序。无解输出”Impossible!“ （不含引号，首字母大写，其余字母小写）

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$\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$

显然直接按字典序排列是不对的，因为$<1,3>,<2,4>$的答案为 $3,1,2,4$。

那么我们逆向考虑，显然出度为 $0$ 的节点都可以放在最后一个位置，而且放哪个最其余的序列是没有影响的，因此我们如果我们选择放最大的一个，那么更能满足比它小的位置的元素，而且这样显然是最优策略。

因此我们的答案是：字典序最大的反向拓扑序。

建反图跑字典序最大拓扑序即可。

这么简单我为什么想不到捏？？

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$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}$

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int N = 2e5; int n, m, cnt(0); int res[N], in[N]; vector < int > a[N]; int read(void) { int s = 0, w = 0; char c = getchar(); while (!isdigit(c)) w |= c == '-', c = getchar(); while (isdigit(c)) s = s*10+c-48, c = getchar(); return w ? -s : s; } void Topsort(void) { priority_queue < int > q; for (int i=1;i<=n;++i) if (in[i] == 0) q.push(i); while (q.size()) { int x = q.top(); q.pop(); res[++ cnt] = x; for (int i=0;i<a[x].size();++i) { int y = a[x][i]; in[y] --; if (in[y] == 0) q.push(y); } } if (cnt < n) printf("Impossible!"); else while (cnt) printf("%d ", res[cnt --]); puts(""); return; } void work(void) { cnt = 0; for (int i=0;i<N;++i) { a[i].clear(); in[i] = 0; } n = read(), m = read(); for (int i=1;i<=m;++i) { int x = read(), y = read(); a[y].push_back(x), in[x] ++; } Topsort(); return; } int main(void) { int T = read(); while (T --) work(); return 0; }