讲义修订日期：2020年9月4日

讲义目录：

不定积分

【1】不定积分的定义【2】求积分（一二类换元法）【3】求积分（分部积分法）【4】求积分（有理函数的积分）

定积分

【1】定积分的定义和性质【2】积分上限函数【3】求定积分（牛莱公式、换元法、分部积分法）【4】定积分的应用：求面积/求体积【5】广义积分和比较判定定理（判断敛散性）【6】瑕积分

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1. 不定积分

1.1 不定积分的定义

所谓积分就是求导函数的反操作。说白了已知导函数求原函数的过程。

对于一个导函数而言，他的原函数是有无数的。所以，不定积分一定要在原函数的后面加上 常数C 如果从几何上来理解的话：斜率一致的直线有无数的 之后，我们研究的问题无非就是求积分，因为求积分的难度会比求导数会更难，因此我们需要到很多针对不同题型的特别解决方法。

首先，先看直接就能爆破的： $$\int \frac{(1-x{)}^2}{x\sqrt{x}}dx=\int \frac{x^2-2x+1}{x^{\frac{3}{2}}}dx=\int (x^{\frac{1}{2}}-2x^{-\frac{1}{2}}+x^{-\frac{3}{2}})dx=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-4x^{\frac{1}{2}}-2x^{-\frac{1}{2}}+C$$

技巧： 对于一个假分式（分母的次数更高的）我们尽量拆开处理

例题： $$\int \frac{x^4}{1+x^2}dx$$

$$\int \frac{x^4-1+1}{x^2+1}dx=\int \frac{(x^2-1)(x^2+1)+1}{x^2+1}dx=\int x^2-1+\frac{1}{x^2+1}dx=\frac{1}{3}{x}^3-x+arctanx+C$$

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1.2 求积分（一二类换元法）

第一类换元法（凑微分法）

我们把 $d$ 外面的某项拿到 $d$ 里面，然后把 $d$ 里面的看成变量。

我们先记住（纠正一个认识）： $$\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C$$

这个非常重要，这个绝对值！！记住！！！

看几道题目的操作： （1） $$\begin{gathered} \int cos3xdx \\ =\frac{1}{3}\int cos3xd(3x)=sin3x+C \end{gathered}$$ （2） $$\begin{gathered} \int \frac{1}{3x+2}dx \\ =\frac{1}{3}\int \frac{1}{3x+2}d(3x+2)=ln|3x+2|+C \end{gathered}$$ （3） $$\begin{gathered} \int x\sqrt{1-x^2}dx \\ =-\frac{1}{3}(1-x^2{)}^{\frac{3}{2}}+C \end{gathered}$$ （4） $$\begin{gathered} \int x{e}^{x^2}dx \\ =\frac{1}{2}{e}^{x^2}+C \end{gathered}$$ （5） $$\begin{gathered} \int \frac{dx}{x(1+lnx)}dx \\ =ln|lnx+1|=C \end{gathered}$$ （6） $$\begin{gathered} \int e^x\sqrt{1-e^x}dx \\ =-\frac{2}{3}(1-e^x{)}^{\frac{3}{2}}+C \end{gathered}$$ （7） $$\begin{gathered} \int \frac{ta{n}^{3}x}{co{s}^{2}x}dx \\ =\int ta{n}^{3}xse{c}^{2}xdx=\int ta{n}^{3}xd(tanx)=\frac{1}{4}ta{n}^{4}x+C \end{gathered}$$ （8）需要记住这种形式： $$\begin{gathered} \int \frac{dx}{a^2+x^2}dx \\ =\frac{1}{a}\int \frac{d(\frac{x}{a})}{1+(\frac{x}{a}{)}^2}=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C \end{gathered}$$ （9）分母下的减法用因式分解，也要记住这个： $$\begin{gathered} \int \frac{1}{x^2-a^2}dx \\ =\int \frac{1}{(x+a)(x-a)}dx=\frac{1}{2a}\int (\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a})dx=\frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+C \end{gathered}$$ $d$ 里面的项可以随意加减常数

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第二类换元法

真换元（设一个$t(x)$），第二类的换元法主要解决的是根号下的问题。

我们看一下例题的操作：

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（1）根号直接替换法： $$\int \frac{dx}{x\sqrt{x-3}}$$ $$t=\sqrt{2x-3}，x=t^2+3$$ $$\int \frac{d(t^2+3)}{(t^2+3)t}=\int \frac{2tdt}{(t^2+3)t}=\int \frac{2dt}{(t^2+3)}=\frac{2\sqrt{3}}{3}arctan\frac{t}{\sqrt{3}}+C$$

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（2）次数统一换法： $$\int \frac{dx}{\sqrt{x}{+}^3\sqrt{x}}$$ $$t{=}^6\sqrt{x},x=t^6$$ $$\int \frac{6t^{5}dt}{t^3+t^2}=6\int \frac{t^{3}dt}{t+1}=6\int \frac{t^3-1+1}{t+1}dt$$

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（3）三角函数替换法： $$\int \sqrt{a^2-x^2}dx(a>0)$$ $$\frac{x}{a}=sint$$ 使用三角函数替换的时候，需要注意的 t的定义域和x的定义域之间的转换！！！！，其实，其他换法也应该注意这个问题

类似的：

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（4）超高次数的处理： $$\int \frac{x^3}{(x-1{)}^{100}}dx$$

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1.3 求积分（分部积分法）

大部分的题目都是可以用分部积分法进行解决的，这是一般的解题方法。

分部积分法的公式推导：

首先记住：$\int A{B}^{\prime }dx=\int AdB$，$\int (AB{)}^{\prime }dx=AB$ 分部积分法的公式： $$\int UdV=UV-\int VdU$$

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看例题： （1） $$\int xarctanxdx$$ $$U=x^2,V=arctanx$$

（2） $$\begin{gathered} \int lnxdx \\ =xlnx-x+C \end{gathered}$$

问题是谁去和 $dx$ 合体呢？ 按照一般情况的话：越近的先合体 $$\int 反对幂指三dx$$

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1.4 求积分（有理函数积分）

所谓有理函数，就是通过 多项式 进行加减乘除得到的函数。

多项式除法

使用多项式除法，是对多项式进行因式分解的一个手段。

$$\frac{x^5+2x^3-x^2-2x+1}{x^2+x+1}$$

什么时候用多项式除法呢？当有理函数的形式是假分式的时候，我们利用多项式除法可以造出真的分式。

处理真分式

我们以二次为代表来研究一下：

题型1： $$\int \frac{1}{a{x}^2+bx+c}dx$$

我们分情况看： 【1】$b^2-4ac=0$ 【2】$b^2-4ac>0$ 【3】$b^2-4ac<0$

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题型2：

$$\int \frac{ex+f}{a{x}^2+bx+c}dx$$

我们分情况看： 【1】$b^2-4ac=0$ 【2】$b^2-4ac>0$ 【3】$b^2-4ac<0$

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如果有更高次数的话怎样处理呢？

$$\int \frac{x^3}{(x+1{)}^4}dx$$

标准处理方式： $$\frac{A_1}{(x+1{)}^4}+\frac{A_2}{(x+1{)}^3}+\frac{A_2}{(x+1{)}^2}+\frac{A_1}{(x+1)}$$ $$x^3=A_1+A_2(x+1)+A_3(x+1{)}^2+A_4(x+1{)}^3$$ 然后解方程

但是我们也可以根据换元法进行秒杀： 令$t=x+1$ 原式： $$\int \frac{(t-1{)}^3}{t^4}dt=\int \frac{t^3-3t^2+3t-1}{t^4}dt$$

然后拆开

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对于本节，我们需要掌握的是上面两种二次的题型，对于高次的我们可以用换元法，也可以用公式法。

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2. 定积分

2.1 定积分的定义和性质

关于定积分，我们先从曲边梯形的面积开始说起，先体会这个过程：

定积分${\int }_a^{b}f(x)dx$描述的是在$[a,b]$的面积

$${\int }_a^{b}f(x)dx=li{m}_{\lambda \to 0}\sum _{i=1}^{n}f({\delta }_i)\Delta x_i$$ $$\lambda =max\{\Delta x_1...\Delta x_n\}$$ 我们注意一下定积分的条件：非常的简单，就是 连续，有界，有限个间断点就可积。

但是如果说：有间断点也可积就错，因为，必须强调是有限个。

定积分的几何意义：$\sum f({\delta }_i)\Delta x_i$ 为什么定积分有正负之分：

原因如下：

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定积分的性质

（1）$b=a$，${\int }_a^{a}f(x)=0$

（2）${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$

（3）${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$

对于第三个条件，无论 $c$ 是否在$ab$之间都成立。

假如$f(x)$恒等于$C$，那么${\int }_a^{b}f(x)dx=C(b-a)$

同理，$f(x)$ 恒大于/小于$C$，那么 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 和 $C(b-a)$ 的关系也同理

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定积分的界值定理

我们引出定积分的界值定理： $M$，$m$是$f(x)$的最大值，最小值，有：$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$

还有关于绝对值： $$|{\int }_a^{b}f(x)dx|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$$

定积分的中值定理

$f(x)$连续，$\exists \delta \in [a,b]$，${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\delta )(b-a)$

结合之前的界值定理: $$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$$ $$m\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\le M$$ $$f(\delta )=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$$

这个 $f(\delta )$ 就是平均值

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2.2 积分上限函数

我们现在假设：上限可以移动，是个变量的时候，如图：

这个就是积分上限函数，积分下限函数同理，我们随时需要记住，积分上限才是自变量。

最重要的是我们需要记住积分上限函数的求导转换，直接代入$x$即可。

$$p(x)={\int }_a^{x}f(t)dt，x\in [a,b]$$ $$p^{\prime }(x)=f(x)$$

假如是复合的：$({\int }_a^{x^2}f(t)dt{)}^{\prime }=2xf(x^2)$

当成复合函数求导的形式处理即可。

如果是积分下限函数：$({\int }_x^{b}f(t)dt{)}^{\prime }=-f(x)$

加负号即可。

总结一种最一般的公式： 记住下面的积分变限函数的求导公式： $$({\int }_{l(x)}^{h(x)}f(t)dt{)}^{\prime }=f(h)h^{\prime }-f(l)l^{\prime }$$

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例题： $$li{m}_{x\to 0}\frac{{\int }_0^{x}arctantdt}{x^2}$$

解：

使用洛必达法则处理： $$li{m}_{x\to 0}\frac{arctanx}{2x}=li{m}_{x\to 0}\frac{\frac{1}{1+x^2}}{2}$$

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例题： $$li{m}_{x\to 0}\frac{{\int }_0^x[{\int }_0^{u^2}arctan(1+t)dt]du}{x(1-cosx)}$$

解：

一层层剥离： $${\int }_0^x[2u\ast arctan(1+u^2)]du$$ $$2x\ast arctan(1+x^2)$$

原式： $$li{m}_{x\to 0}\frac{2x\ast arctan(1+x^2)}{(x(1-cosx){)}^{\prime }}$$

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2.3 求定积分（牛莱公式、换元法、分部积分法）

定积分的牛莱公式

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$$

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例题： $${\int }_{-1}^3|2-x|dx$$

解:

$$|2-x|=\{\begin{array}{l}2-x，(x\le 2)\\ x-2，(x>2)\end{array}$$

需要考虑分段，这是定积分和不定积分最不一样的地方，定积分是不严谨的，还记得之前说过定积分的前提只有：连续即可，所以我们需要先把间断点找出来。

$${\int }_{-1}^2(2-x)dx+{\int }_2^3(x-2)dx$$

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定积分的换元法

我们可以想，直接用不定积分的方法求出来再代入不就可以了吗？

不是的，有时候虽然可以这样，换元的时候，上下限也需要换

为了保证上下限能够直接替换，我们需要保证我们的换元的函数是一个单调函数

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例题： $${\int }_0^8\frac{dx}{1{+}^3\sqrt{x}}$$

解：

设：$t{=}^3\sqrt{x}$，$x=t^3$，所以：$x\in [0,8]$，$t\in [0,2]$

原式=$3{\int }_0^2\frac{t^2-1+1}{1+t}$

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例题： $${\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}dx，(a>0)$$

这题，我们需要替换：$x=asint$，$x\in [0,a]$，$t\in [0,\frac{\pi }{2}]$

当然这题还有其他解法：$y^2+x^2=a^2$，是圆函数

这里是$\frac{1}{4}\pi a^2$

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例题： 证明下面的不等式：n是$Z^{+}$，

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}si{n}^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}co{s}^{n}xdx$$

证明：

令$x=\frac{\pi }{2}-t$ 即可，$x\in [0,\frac{\pi }{2}]$，$t\in [\frac{\pi }{2},0]$

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例题; 已知：$${\int }_0^{x}tf(x-t)dt=1-cosx$$求$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx$$

解：

这个不是积分上限函数哈，先明确 先换元，把括号里面的减号拿出来：

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求定积分的奇偶变换

这个非常重要，因为利用这个 性质可以对一些部分进行抵消。

$f(x)$是偶函数： $${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$$$f(x)$是奇函数： $${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$$

有用的是第二点，第一点实际上也没有简化多少

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例题： $${\int }_{-1}^1\frac{si{n}^{3}x+(arctanx{)}^2}{1+x^2}$$

看这个函数，$si{n}^{3}x$奇函数，$1+x^2$偶函数，$(arctanx{)}^2$偶函数

我们拆开： $${\int }_{-1}^1\frac{si{n}^{3}x}{1+x^2}dx+{\int }_{-1}^1\frac{(arctanx{)}^2}{1+x^2}$$ 前面的部分就消掉了。

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定积分的分部积分

$${\int }_a^{b}UdV=UV{|}_a^b-{\int }_a^{b}VdU$$

合成 $dV$ 的原则是反对幂指三d，如果有$e^x$就优先。

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例题： $$f(x)=\{\begin{array}{l}{e}^{x^2}sinx，(x<1)\\ xlnx，(x>=1)\end{array}$$

求${\int }_1^{4}f(x-2)dx$

解：

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2.4 定积分的应用：求面积/求体积

求面积

一个定积分可以表示一个函数的围成的阴影面积，如果组合起来的话，就能表示很多其他的图形了。

第一类：$x$ 型（dx） 第二类：$y$ 型（dy）

组合类的我们解题的时候需要先判断这个图是x型的还是y型的，主要是看他垂直于什么轴： 例如： 如果是有多个的我们可以拆开解决：

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求体积

我们更多的是考求体积：先看一个例子，假如有个土豆，切成很多片，然后假设我们已知截面面积的函数 $A(x_i)$

体会一下下面的过程：

所以，我们可以知道，对于不规则的形状，一旦知道了一个方向下的截面面积函数$A(x)$，我们就能求出体积了。

$$V={\int }_a^{b}A(x)dx$$

说白了就是对截面函数求定积分。

定积分是一个求上升维度的值的过程。

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例题（绕轴旋转的题目）：

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2.5 广义积分和比较判定定理（判断敛散性）

广义积分

所谓的广义积分，就是有一个限是是无穷的。 这时候，我们需要变成一个极限问题来解决了：

$${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=li{m}_{b\to +\infty }{\int }_a^{b}f(x)dx$$$${\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx=li{m}_{a\to -\infty }{\int }_a^{b}f(x)dx$$$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{c}f(x)dx+{\int }_c^{+\infty }f(x)dx$$

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针对广义积分，我们用的是广义牛莱公式。

例题： $${\int }_0^{+\infty }f(x)dx=F(+\infty )-F(0)$$

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广义积分与敛散性

对于广义积分而言，无非就两种下场：一种就是可以通过广义牛莱公式求出值，另一种就是发散，求不出来。

${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{dx}{1+x^2}=arctanx{|}_{-\infty }^{+\infty }=\pi$${\int }_0^{+\infty }cosxdx$ 发散

$arctanx$的图像：

性质：

假如${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 与 ${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 都收敛的话，那么可知：${\int }_a^{+\infty }(f(x)\pm g(x))dx$ 收敛

反推则不成立。

广义积分下的比较判别定理

已知：$0\le f(x)\le g(x)$

${\int }_a^{+\infty }g(x)dx$ 收敛，则 ${\int }_0^{+\infty }f(x)dx$ 一定收敛

${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$ 发散，则 ${\int }_0^{+\infty }g(x)dx$ 一定发散

比瘦子还瘦的一定是瘦子

为啥有大于等于0 的前提呢？

为了防止 $f(x)\to -\infty$，这样就是发散的了

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例题： 判断：${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx$ 敛散性

解：

这是个广义积分，就两种情况，积分求的出来就不发散，但求积分看求不求的出来这个是非常困难的。

首先根据常识： 当$x>=1$的时候，才满足：$x^2>x$ 才有： $$0\le e^{-x^2}\le e^{-x}$$

原式： ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-x^2}dx={\int }_0^1{e}^{-x^2}dx+{\int }_1^{+\infty }{e}^{-x^2}dx$

已知${\int }_1^{+\infty }{e}^{-x}dx$，可求出积分，所以收敛

所以原式也收敛

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广义积分的绝对收敛和条件收敛

${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$收敛，${\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx$收敛，则称${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$绝对收敛${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$收敛，${\int }_a^{+\infty }|f(x)|dx$发散，则称${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$条件收敛

对于绝对值的来说，如果全部翻上去的面积都收敛了（就是可以计算）的话，那么，正负抵消的时候也一定收敛

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2.6 瑕积分

所谓瑕积分，就是假的积分，因为他存在瑕疵，再上限或者下限的地方函数没有定义。 表达出来有三种。

第一种： $${\int }_a^{b}f(x)dx=li{m}_{{\delta }^{+}\to 0}{\int }_a^{b-{\delta }^{+}}f(x)dx$$

第二种：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=li{m}_{{\delta }^{+}\to 0}{\int }_{a+{\delta }^{+}}^{b}f(x)dx$$

第三种： $${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

然后用上面的两种处理即可。

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例题：求：${\int }_0^{1}lnxdx$

解：

$$li{m}_{{\delta }^{+}\to 0}{\int }_{0+{\delta }^{+}}^{1}lnxdx=li{m}_{{\delta }^{+}\to 0}[-1-\delta ln\delta +\delta ]$$

记住：$lnx$的原函数：$xlnx-x$