格丁根学派
德国19世纪20年代到20世纪20年代，由高斯创始，黎曼、克莱因、希尔伯特等人发展致盛，在世界数学史中长期占主导地位的学派。格丁根学派强调数学的统一性，重视纯粹数学和应用数学，将数学理论与近代工程技术紧密结合。格丁根学派“兵多将广”且代代相接，学科齐全且长期保持着高度创造力。然而到20世纪30年代，纳粹执政后的疯狂民族主义导致该学派日渐衰退。
高斯早年就学于格丁根，并在格丁根担任天文台台长和天文学教授，其《算术研究》和《曲面的一般研究》分别成为数论和微分几何的奠基著作。黎曼也曾就读格丁根大学，1851年获博士学位，后留校任教授。黎曼是复变函数论的创始人之一，以他名字命名的黎曼积分、黎曼曲面、黎曼几何分别推动了积分理论、拓扑学和几何学的发展。克莱因1886年受聘于格丁根大学，为学派的组织健全、人员汇集和理论发展做了大量工作。例如组织了许多讨论班，造成相互合作、民主自由的学术气氛；在《新的几何研究成果的比较分析》中提出的“埃尔朗根纲领”，成为数学统一性的代表作，影响了学派的后继工作。希尔伯特1895年应召到格丁根后，在代数数论、几何基础、分析学、理论物理和数学基础等方面做出巨大贡献。希尔伯特注重数学与物理等学科的联系，他新的统一观点促进了20世纪数学的进展。诺特1916年到格丁根后，创立了抽象代数学。并主持有关讨论班，培养了大量近现代数学家，进而影响到法、苏、美、英国的数学发展。
柏林学派
19世纪下半叶到20世纪初，德国柏林兴起的数学学派，其代表人物为外尔斯特拉斯、弗罗贝尼乌斯、基灵等人。柏林学派主要从事数学分析、符号代数和几何基础方面的研究。虽然柏林学派不受限于共同的研究方向，但有着一致的哲学观点，指导研究工作。
1856年，外尔斯特拉斯受聘到柏林大学执教，在数学分析的严密化方面做出了重要贡献，给出连续、一致收敛等基本概念及其应用；在椭圆函数、行列式、线性代数、变分法等领域也取得丰富成果，成为该学派的带头人。1867年，弗罗贝尼乌斯和基灵进入柏林大学学习，在外尔斯特拉斯指导下获博士学位。弗罗贝尼乌斯继承了外尔斯特拉斯有关初等因子的理论，独立引入符号矩阵代数，创造了型的符号代数。基灵则对外尔斯特拉斯有关几何基础方面，做出了独特的研究，创立了李代数的结构理论和环与代数的结构理论。
彼得堡学派
19世纪下半叶到20世纪初，在俄国圣彼得堡城兴起的学派，其代表人物为切比雪夫、马尔可夫、李亚普诺夫等人。彼得堡学派的主要特征是数学理论与实际应用紧密地结合，并在应用数学中做出了较大贡献。
切比雪夫作为学派的创始人，一生在数论、概率论、函数逼进论、机械原理和积分学等领域共发表70余篇论文；自1847年起一直在圣彼得堡大学任教，培养出大批优秀学生并逐渐形成了学派。马尔可夫早年在圣彼得堡大学受教于切比雪夫，后留校任教授。他的《差分学》和《概率论》已成为经典著作，其中马尔可夫过程也已发展成概率论的一个新分支。同样作为切比雪夫学生的李亚普诺夫，在概率论中给出了中心极限定理的简洁证明，并对运动稳定性理论提出许多新的解决方法。
彼得堡学派是俄国（苏联）最早的数学学派，对苏联近代数学的发展产生过巨大影响。20世纪中，圣彼得堡（列宁格勒）又出现了坎托罗维奇等现代数学家，他们在继承和发展彼得堡学派的理论及传统方面做出了的贡献。
意大利代数几何学派
19世纪60年代兴起于意大利，由布廖斯基、贝蒂和克雷莫纳“掌门”。该学派的工作在性质上属于古典代数几何，有着自己的风格和研究主题，代表了代数几何发展中的几何倾向，对意大利数学的全面发展有深远影响。
19世纪50年代开始，意大利数学家与欧洲数学有了广泛交流，使意大利摆脱了闭塞落后的局面。1863年，波伦亚大学的数学教授克雷莫纳给出平面曲线一般变换理论的阐述，此后又发展了被称为克雷莫纳变换：任意维射影空间的射影平面与有理平面的双有理变换理论。他的一系列工作成为意大利代数几何研究的起点，并激发了许多数学家的研究。
19世纪90年代后，意大利第二代代数几何学家成长起来，其中塞格雷于1894年扩展应用了曲线族中曲线在一条曲线上截得点的线性系的思想，启示后人发现许多新的双有理不变性质。19世纪末卡斯泰尔诺沃与恩里克斯开始合作，以线性系为中心概念进行研究。利用克雷莫纳变换奠定了代数曲面中曲线的线性系理论，并对曲面分类理论进行了深刻的研究。塞维里师从塞格雷，完善了代数曲面双有理不变量理论，并推广到任意维代数族上。他还建立了代数几何中的基础理论，为代数曲面上零维团链理论打下了基础。
法国函数论学派
19世纪末兴起于法国巴黎高等师范学校，以阿达马、波莱尔、贝尔、勒贝格等人为代表。
法国数学在18世纪末到19世纪30年代，在分析、几何和数学物理方面取得巨大成就。19世纪末法国数学重新崛起，阿达马在函数论领域做了开创性工作，成为学派的精神领袖，并在20世纪初开办讨论班，培养了一批优秀数学家。波莱尔1897年任巴黎高等师范学校讲师，其《函数论教程》阐述了测度理论，并给出覆盖定理的一个新证明。他编辑的“函数论著作丛书”先后出版约50本，其中包含了将集合论用于实变函数论和复变函数论的新思想。1899年贝尔研究了连续函数的极限函数的特殊问题，并发展了半连续概念，此后集中研究非连续函数，成为实变函数论的开拓者之一。1897年勒贝格毕业于巴黎高等师范学校，两年后开始发表有关函数分类的文章，1902年在博士论文《积分、长度与面积》中详细阐述了勒贝格积分概念，成为现代积分论的开端。后又在《积分与原函数的探索》中证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，完全解决了黎曼可积性问题，为实变函数论打下坚实的基础。
在20世纪初，法国函数论学派吸引了世界各地的学生，推动了世界函数论的发展。第一次世界大战使法国科学研究遭受重创，函数论学派的没落。法国数学在战后逐渐转向应用领域和公理化方法。
普林斯顿学派
美国数学在19世纪后期才逐渐与欧洲数学接轨，而普林斯顿学派于20世纪初兴起于美国普林斯顿，并一直延续到20世纪50年代，以范因、维布伦、外尔、莫尔斯等人为代表。普林斯顿学派既在微分几何与拓扑学的传统优势中引进新的工具，又开拓数学物理等新领域。以优势学科带动其他学科全面发展，以数学理论研究推动科学应用，并广泛开展国际交流与合作，是现代数学的发展的一种非常成功的模式。
范因就是在当时的世界数学中心德国获得博士学位，自1885年起一直在普林斯顿工作，曾任普林斯顿大学数学系主任、教师会主席、科学系主任、代理校长等职，1911和1912两年任美国数学会主席。范因主要以讲课、编写教科书和科学组织、管理等方面的工作促进普林斯顿数学的发展。1905年维布伦到普林斯顿大学任教，在几何基础、射影几何、组合拓扑等领域做出了成果；1922年后，与艾森哈特一起引入路线概念作为空间的基本结构元素，深入研究了路线几何学的流形，后又对微分流形和微分几何的公理化进行了深入研究，并注重微分几何与相对论、电磁学、动力学和量子理论相结合，他的《射影几何》、《位置分析》都已成为经典著作。1933年，普林斯顿高等研究院成立，聘请了一批世界著名的数学家，创办了《数学年刊》，开设了数学讨论班。
莫斯科学派
20世纪初的苏联在莫斯科创立的学派，又细分为两个侧重不同的学派：由叶戈洛夫和卢津创始，柯尔莫哥洛夫等人发扬光大的函数论学派；以亚历山德罗夫、乌雷松、庞特里亚金等人为代表拓扑学派。
莫斯科学派直接代表了苏联近现代数学发展的水平。卢津是叶戈洛夫的学生，曾到法国和德国学习，后在莫斯科大学讲座实变函数论，并写有实变函数论教科书。他曾证明可测函数的构造等定理。柯尔莫哥洛夫在数论方面做了大量工作，并应用实变函数论和测度论将概率论建立在严格的数学基础上。亚历山德罗夫和乌雷松也都是卢津的学生，早年从事函数论研究，后转向拓扑学，成为20世纪该学科的先驱。乌雷松开创了维数理论的研究，为发展一般拓扑学做出了杰出贡献。庞特里亚金参加了亚历山德罗夫组织的拓扑学讨论班，他写了几本重要的拓扑学专著，且在应用数学领域取得较大成就。
莫斯科学派将函数论作为工具，在拓扑学、微分方程、概率论等几个方面都获得长足发展，其中有较著名数学成果的还有索伯列夫的现代微分方程理论、辛钦的概率研究、盖尔范德的泛函分析与代数成就等。近年来莫斯科数学界仍然新人辈出，在他们中诺维科夫和马尔库利斯分别荣获1970年和1978年度菲尔兹奖。
剑桥分析学派
20世纪上半叶以英国剑桥大学为中心兴起，以哈代和李特尔伍德为代表的学派。剑桥大学自牛顿时代开始一直是英国的数学中心，而数学在其教学体制中又占有重要地位。1837年，剑桥数学杂志创刊，供年轻数学家发表研究成果。
19世纪下半叶，凯莱、福赛思、霍布森等人的工作成为剑桥分析研究的先驱，哈代1900年毕业于剑桥大学三一学院，后留校执教，他的《纯粹数学教程》是一本严格的初等分析教程，产生了较大影响。1910年，李特尔伍德成为哈代的同事，1912年开始与哈代联名发表论文，35年中在丢番图逼近、数的加性和积性理论、黎曼函数、不等式、积分、三角级数等分析领域合作论文近100篇。1913年，哈代发现了印度天才数学家拉马努金，并与拉马努金在素数分布、加性数论、广义超几何级数、椭圆函数、发散级数等方面也有成功的合作。在此期间，哈代和李特尔伍德的教学激发了许多学生对分析学的兴趣。到20世纪30年代，两人共同主持的联合讨论班培养了遍及世界各地的学生，也为访回剑桥的数学家提供了学习良机，比如著名的数学家杨、托德、华罗庚、乌拉姆等人。
剑桥分析学派将严密化的分析及积分方程、测度等工具用于数论、函数论研究，发展起圆法等重要的分析方法，并解决了一大批数学问题。这种将纯粹数学与应用数学互相补充、共同发展的风格扩大到分析学的研究领域，促进了数学各分支的协调发展。
波兰学派
波兰学派兴起于两次世界大战间，依据地点一般又细分为华沙学派和利沃夫学派。华沙学派以1920年创刊的《数学基础》杂志为形成标志；利沃夫学派则以1929年创刊的《数学研究》杂志为代表。两学派的成员分别在两份杂志上发表文章，两份杂志也因此成为了国际上重要的数学杂志。谢尔品斯基、尼谢夫斯基、马祖尔克维奇是波兰学派的创始人。他们都曾在华沙大学工作，一起创办了《数学基础》，贡献领域主要在集合论和拓扑学。同时非常注意科学团体的组织建设，以学派刊物为中心，吸引和培养了一大批优秀的数学家。利沃夫学派的代表人物是巴拿赫、施坦豪斯、库拉托夫斯基、乌拉姆等人，他们先后学习或执教于利沃夫技术大学，主要是对泛函分析学科的创立和发展做出了贡献。学派常在一个“苏格兰咖啡馆”中聚会，提出和讨论数学问题，其中不乏影响到20世纪后半叶数学发展的问题。除此之外，波兰学派的成员还遍及克拉克夫和波兹南，也促进了波兰数学会及其他科学机构的组建。由于第二次世界大战纳粹的占领，波兰学派随之衰退，幸好战后得到数度复兴。
布尔巴基学派
20世纪30年代出现于法国，由一群青年数学家组成，借用尼古拉·布尔巴基为集体的笔名，发表数学论文和有关数学基础问题的专著。这群青年在广泛深入地研究现代数学本质的基础上，提出用数学结构的观点对各数学分支进行统一处理，并为此撰写了鸿篇巨著《数学原理》。该书自1939年开始出版以来，已先后出版了近40卷，并陆续被译成英、日、俄等多国文字。同时，还发表500多篇综述当代数学各个领域重大成果的文章。
因为第一次世界大战，战后的法国数学界，出现了青黄不接的局面：老一辈数学家对当代数学所知甚少，年轻大学生的求知欲得不到满足。于是，1934年冬，一些高等师范学校毕业的年轻数学家自发地组织起来，约定1935年7月在巴黎召开第一次布尔巴基大会，并计划编写《数学原理》。这些年轻的数学家包括韦伊、迪厄多内、嘉当、谢瓦莱、德尔萨特等人，成了布尔巴基学派的第一批主要成员。该组织每年举行数次讨论班式的聚会，探讨数学发展动向，运用公理化方法研究整个数学的基础和本质。会议没有任何程序，参加者可自由地踊跃发言。学派中的成员被要求必须具备较高的数学造诣和独立解决问题的能力，且对自己研究的课题怀有强烈的兴趣。他们治学态度严谨，对一部著作要经过反复修改，直到大家基本满意。因此一本书从动笔到正式出版平均要8一10年。为了保持组织的青春活力，学派中有个不成文的规定：凡年满50岁者必须退出。有许多学派的老一代成为了国际著名的数学家，较年轻的也有不少是优秀的数学家，如获得过国际数学家大会颁发的菲尔兹奖的施瓦尔茨、塞尔、格罗腾迪克等人。
《数学原理》博大精深常，书中坚持严格的公理化原则，并使用新颖独特的名词术语，其理论体系以“分析的基本结构”为基础，内容包括集合论、代数学、一般拓扑学、实变函数论、拓扑向量空间、积分论。此外，还有李群与李代数、交换代数、谱理论、微分流形与解析流形等分册，书中强调数学是一门统一的结构性科学，具有三种基本结构：代数结构、序结构和拓扑结构。数学中的不同分支都是其组成部分。该观点对于丰富人们对数学的认识，推动数学的发展有重要意义，同时也影响了世界各国的数学教育。
20世纪初，直觉主义学派、逻辑主义学派和形式主义学派这3个学派，都是为解决数学基础争论而建立起来的。
编辑 ∑Gemini
来源：数学与人工智能
文章推荐
☞一盘红烧肉告诉你：本科、硕士、博士，区别在哪儿？
☞现代数学确实在改变世界
☞微积分必背公式
☞机器学习中距离和相似性度量方法
☞算法你都懂_如何一年赚它几百万
☞他的科学生涯堪称加速器，30岁当博导，38岁当选中科院院士，40岁当选德国科学院院士。。。
