目录

1.符号变量的创建和简单计算2.符号函数的求导3.积分4.matlab求解方程组

1.符号变量的创建和简单计算

%% 符号变量的创建和简单运算 % 代码参考：我要自学网的龚飞老师《Matlab2016数值计算与智能算法》 clear;clc % 简单符号变量的创建 syms x % 观察工作区， sym是symbolic的缩写 syms a b c % 符号方程的创建，两种方法 syms a x y = a*x+x^2 % y = str2sym('a*x+x^2') %Matlab 2017b 版本后推出 % 符号矩阵 syms alpha M = [cos(alpha) -sin(alpha); sin(alpha) cos(alpha)] %% 简单运算 syms a b c d e y = a + b % a + b x = c - d % c - d y1 = x*y % (a + b)*(c - d) y2 = y1/y % c - d y3 = y1^3 % (a + b)^3*(c - d)^3 y4 = sqrt(y3) % ((a + b)^3*(c - d)^3)^(1/2) y5 = exp(y4) % exp(((a + b)^3*(c - d)^3)^(1/2)) %% 符号表达式的整理 clear;clc % 化简 syms a y=(cot(a/2)-tan(a/2))*(1+tan(a)*tan(a/2)) simplify(y) % 2/sin(a) %% 因式分解 factor(12) % 对常数进行因式分解 % 2 2 3 syms m n x y = -24*m^2*x-16*n^2*x factor(y) % [ -8, x, 3*m^2 + 2*n^2] y1=m^3-n^3 factor(y1) % [ m - n, m^2 + m*n + n^2] %% 多项式展开 syms a x y = a*(x^2-a)^2+(x-2) expand(y) % a^3 - 2*a^2*x^2 + a*x^4 + x - 2 %% 合并 syms x y z = (x+y)^2*y+5*y*x-2*x^3 % expand(z) - 2*x^3 + x^2*y + 2*x*y^2 + 5*x*y + y^3 collect(z,x) % y*x^2 - 2*x^3 + (2*y^2 + 5*y)*x + y^3 collect(z,y) % y^3 + 2*x*y^2 + (x^2 + 5*x)*y - 2*x^3 %% 计算分子与分母 % [z1,z2] = numden(2.5) % 会报错，因为numden的输入变量不能是数值，只能是符号变量 % ans = sym(2.5); % sym函数可以将数值2.5转换为符号 [z1,z2] = numden(sym(2.5)) % 对常数计算分子与分母 % z1 = 5 % z2 = 2 syms x y z = 1/x*y+x/(x^2-2*y) [z1,z2] = numden(z) %z1分子，z2分母 % z1 = - x^2*y - x^2 + 2*y^2 % z2 = x*(- x^2 + 2*y) %% 让结果显示的更加自然 syms x y M = (1/x*y+x/(x^2-2*y)-x^2/(3+y)^2)^2; expand(M) % y^2/x^2 + x^4/(y^4 + 12*y^3 + 54*y^2 + 108*y + 81) + (2*x^3)/(- x^2*y^2 - 6*x^2*y - 9*x^2 + 2*y^3 + 12*y^2 + 18*y) - (2*y)/(- x^2 + 2*y) + x^2/(x^4 - 4*x^2*y + 4*y^2) - (2*x*y)/(y^2 + 6*y + 9) mupad % 未来的版本可能会移除这个工具箱，可以点击Matlab的主页，新建实时脚本

2.符号函数的求导

求导 diff 积分 int 数值积分：[定积分的近似值] integral

%% 符号函数的求导 clear;clc % 一元函数的导数 syms x y = x^4-5*x^2+6 diff(y) %求一阶导数 % 4*x^3 - 10*x diff(y,2) %求二阶导数 % 12*x^2 - 10 y = cos(x)*tan(x) dy = diff(y,10) %求十阶导数 simplify(dy) y = sin(x)*tan(x) dy = diff(y,10) %求十阶导数 simplify(dy) % 多元函数的导数 syms x1 x2 x3 y1 = x1^5*x2+x2*x3-x1^2*x3 py1 = diff(y1,x1,1) % 对x1求一阶偏导 % 5*x2*x1^4 - 2*x3*x1 py2 = diff(y1,x1,2) % 对x1求二阶偏导 % 20*x2*x1^3 - 2*x3 py3 = diff(y1,x1,x2) % 先对x1求偏导，再对x2求偏导 % 5*x1^4 py4 = diff(y1,x2,x1) % 先对x2求偏导，再对x1求偏导 % 5*x1^4 %% 注意，如果diff函数作用的对象不是符号函数，而是矩阵，那么对应的功能是求差分。 A=[4 5 6 3 2 1]; diff(A) % 求向量A的一阶差分 1 1 -3 -1 -1 diff(A,2) % 在一阶差分的基础上再差分一次 0 -4 2 0 A=[4 5 6; 7 4 2; 5 6 2] A1=diff(A) % 下一行减去上一行求一阶差分 % 3 -1 -4 % -2 2 0 A2=diff(A,2) % 下一行减去上一行求二阶差分（在一阶差分的基础上再差分一次） % -5 3 4 A3=diff(A,2,1) % 最后面的1表示在行上进行差分（在列的方向上进行差分） % -5 3 4 A4=diff(A,1,2) % 后一列减去前一列求一阶差分， 最后面的2表示在列上进行差分（在行的方向上进行差分） % 1 1 % -3 -2 % 1 -4 A4=diff(A,2,2) % 后一列减去前一列求二阶差分 % 0 % 1 % -5

3.积分

%% 不定积分 clear;clc syms x y = x^2 int(y,x) % x^3/3 注意，Matlab计算时不会给我们加上常数C syms x y = 1/x int(y,x) % log(x) 注意，Matlab计算1/x形式的不定积分时不会给我们加上绝对值~ syms x y = x^2 / (1+x^2) int(y,x) % x - atan(x) syms x y = 1/(exp(x)+1) int(y,x) % x - log(exp(x) + 1) syms x a y = 1/sqrt(x^2-a^2) int(y,x) % log(x + (x^2 - a^2)^(1/2)) %% 定积分 syms x y = sin(x) int(y,x,0,pi/2) % 1 syms x a b y = exp(x) int(y,x,a,b) % exp(b) - exp(a) syms x y = (sin(x))^2 / x^2 b=int(y,x,0,+inf) % pi/2 % 注意，不是所有的函数都可以利用int函数计算出最后的结果，例如： syms x y = 1 / exp(x) * log(x+2*x^2+sin(x)) int(y,x,0,4) % int(exp(-x)*log(x + sin(x) + 2*x^2), x, 0, 4) % 我们可以计算数值积分：数值积分可用于求定积分的近似值。在数值分析中，数值积分是计算定积分数值的方法和理论。 % 在数学分析中，给定函数的定积分的计算不总是可行的，许多定积分不能用已知的积分公式得到精确值。 y = @(x) 1 ./ exp(x) .* log(x+2.*x.^2+sin(x)) % 注意，写成函数句柄时，要用点乘或者点除 integral(y,0,4) xx = 0:0.1:4; yy = 1 ./ exp(xx) .* log(xx+2*xx.^2+sin(xx)); plot(xx,yy,'-')

4.matlab求解方程组

（solve）—— 求解 （vpasolve）—— 指定范围求解

%% matlab求解方程和方程组 % 不同的MATLAB版本之间的语法存在不兼容的情况：https://www.zhihu.com/question/360875116/answer/937256480 % 视频里面用到的是Matlab2017a版本，如果低版本版本可能会报错。 % 更多关于Matlab求方程的介绍可看这个博客：https://blog.csdn.net/weixin_30724853/article/details/99004382 %% solve函数 %% 例题1: 求解单变量方程 clear;clc syms x answ = solve(sin(x) == 1, x) % 注意：这里的等号一定要有两个，一个等号表示赋值，两个等号才表示左右两边相等 answ = solve(sin(x) == 1) % 只有一个符号变量x，所以可以不指定未知数 % 也可以这样写 clear;clc syms x eqn = (sin(x) == 1); % eqn = sin(x) == 1; answ = solve(eqn, x) % 因为三角函数是周期函数，如果要得到所有的解，则需要加上条件 [answ, params, condions] = solve(eqn, x, 'ReturnConditions', true) %% 例题2: 多变量方程求解 clear;clc syms a b c x eqn = (a*x^2 + b*x + c == 0); answ1 = solve(eqn, x) % 将x视为未知数求解 % -(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a) % -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a) answ2 = solve(eqn, a) % 将a视为未知数求解 % -(c + b*x)/x^2 %% 例题3：方程组求解 clear;clc syms u v a eqn = [2*u + v == a, u - v == 1]; answ = solve(eqn, [u, v]) answ.u answ.v [answ_u, answ_v] = solve(eqn, [u, v]) %% solve 可能会警告【一般不用这个】 syms x eqn = (sin(x) == x^2 - 1); solve(eqn, x) % 警告: Cannot solve symbolically. Returning a numeric approximation instead. % 画图看看 fplot(sin(x), [-2 2]) % fplot函数可绘制表达式的图形 hold on fplot(x^2 - 1, [-2 2]) %% vpasolve函数求解【求解功能更为强大，可以指定区间】 % 用vpasolve函数指定求[0 2]上的解 syms x eqn = sin(x) == x^2 - 1; vpasolve(eqn, x, [0 2]) vpasolve(eqn, x, [-1 0]) vpasolve(eqn, x, [-10 10]) % vpasolve returns all solutions only for polynomial equations. % For nonpolynomial equations, there is no general method of finding all solutions. % When you look for numerical solutions of a nonpolynomial equation or system that has several solutions, % then, by default, vpasolve returns only one solution, if any. % To find more than just one solution, set random to true. % Now, calling vpasolve repeatedly might return several different solutions. vpasolve(eqn, x, 'random', true) % 找不到所有的解，random 随机找解 vpasolve(eqn, x, -5) % 给定搜索的起始点 ，找到靠近 -5 的解 %% 来看一个更复杂的例子 syms x y eqn = [x^2 - 2*x - 3*x*y == 10, y^4 == exp(-2*x/3)] [answ_x, answ_y] = vpasolve(eqn, [x, y], 'random', true) % 画图看看 ezplot(x^2 - 2*x - 3*x*y == 10, [-10 10]) hold on ezplot(y^4 == exp(-2*x/3*y), [-10 10]) close % 关闭图形 % ezplot函数比较鸡肋，下面这个函数比较厉害哦 fimplicit(x^2 - 2*x - 3*x*y == 10, [-10 10],'r') % R2016b版本之后才有 hold on fimplicit(y^4 == exp(-2*x/3*y), [-10 10],'b') % R2016b版本之后才有 [answ_x, answ_y] = vpasolve(eqn, [x, y],[-4 -1;1 5]) % 指定搜索的范围：x位于[-4 -1], y位于[1 5] hold on plot(answ_x, answ_y,'ko', 'MarkerSize',10) % plot(double(answ_x), double(answ_y),'ko', 'MarkerSize',10) % double可以将我们的符号变量转换为数值变量 %% fsolve函数（求解功能最为强大哦） % fsolve是Matlab优化工具箱中的一个函数，可专门用来求解特别复杂的方程和方程组 x0 = [0,0]; % 初始值 result_x = fsolve(@my_fun,x0) % my_fun.m 需要提前给编写好，放到同目录的文件夹下 % 当然你也可以用vpasolve函数试试 clear; clc syms x1 x2 eqn = [exp(-exp(-(x1+x2))) - x2*(1+x1^2) == 0, x1*cos(x2) + x2*sin(x1) - 0.5 == 0] [answ_x1, answ_x2] = vpasolve(eqn, [x1, x2], [0 0])