吴恩达《改善深层神经网络》笔记（一）深度学习的实用层面

训练/开发/测试集

$$数据集\{\begin{array}{rlr}& 训练集（train）：数据集越大，占比越大& \\ & 验证集（dev)& \\ & 测试集（test)：对最终所选定的神经网络做出无偏估计& \\ & （无需无偏估计可以不设测试集）& \end{array}$$只有Train sets和Dev sets，通常也有人把这里的Dev sets称为Test sets，注意加以区别。 我们可以通过Train sets训练不同的算法模型，然后分别在Dev sets上进行验证，根据结果选择最好的算法模型。

偏差/方差

high bias表示欠拟合，high variance表示过拟合。

偏差用于衡量Train set error，方差用于衡量Train set error与Dev set error的差值。

正则化

如果出现了高方差，也就是过拟合的情况，则需要采用正则化（regularization)来解决。 解决过拟合的方法有正则化和扩大数据。但通常获得更多训练样本的成本太高，比较困难。

使用L2正则化逻辑回归模型，表达式修正为： $$J(\omega ,b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}L(\hat{y}(i),y(i))+\frac{\lambda }{2m}||\omega |{|}_2^2$$ $$||\omega |{|}_2^2=\sum _{j=1}^{n_x}{\omega }_j^2={\omega }^T\omega$$ 其中$\lambda$就是正则化参数（超参数的一种）。

也可以对b进行正则化。但是一般w为高维参数矢量，而b只是一个常数。相比较来说，参数很大程度上由w决定，改变b值对整体模型影响较小。所以为了简便，一般忽略对b的正则化。

在深度学习模型中，L2 regularization的表达式为： $$J({\omega }^{[1]},b^{[1]},\dots ,{\omega }^{[L]},b^{[L]})=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^{m}L(\hat{y}(i),y(i))+\frac{\lambda }{2m}\sum _{l=1}^L||{\omega }^{[l]}|{|}^2$$ $$||{\omega }^{[l]}|{|}^2=\sum _{i=1}^{n^{[l]}}\sum _{j=1}^{n^{[l-1]}}({\omega }_{ij}^{[l]}{)}^2$$ 其中$||{\omega }^{[l]}|{|}^2$称为弗罗贝尼乌斯（Frobenius）范数。

为什么正则化可以预防过拟合

使用L2 regularization，当λ很大时，w[l]≈0，意为将某些神经元权重趋于0，给忽略掉了，问题就从high variance变成了high bias了。 另外，假设激活函数是tanh函数。tanh函数的特点是在z接近零的区域，函数近似是线性的，而当|z|很大的时候，函数非线性且变化缓慢。当使用正则化，λ较大，即对权重w[l]的惩罚较大，w[l]减小。因为z[l]=w[l]a[l]+b[l]。当w[l]减小的时候，z[l]也会减小。则此时的z[l]分布在tanh函数的近似线性区域。那么这个神经元起的作用就相当于是线性回归（linear regression）。如果每个神经元对应的权重w[l]都比较小，那么整个神经网络模型相当于是多个linear regression的组合，即可看成一个linear network。得到的分类超平面就会比较简单，不会出现过拟合现象。

Dropout正则化

除了L2 regularization之外，还有另外正则化合的有效方法：Dropout（随机失活）。Dropout是指在深度学习网络的训练过程中，对于每层的神经元，按照一定的概率将其暂时从网络中丢弃。对于m个样本，单次迭代训练时，随机删除掉隐藏层一定数量的神经元；然后，在删除后的剩下的神经元上正向和反向更新权重w和常数项b；接着，下一次迭代中，再恢复之前删除的神经元，重新随机删除一定数量的神经元，进行正向和反向更新w和b。不断重复上述过程，直至迭代训练完成。 注意 使用dropout ** 训练 结束后，在测试和实际应用**模型时，不需要进行dropout和随机删减神经元，所有的神经元都在工作。

理解Dropout

不同隐藏层的dropout系数keep_prob可以不同。一般来说，神经元越多的隐藏层，keep_out可以设置得小一些.，例如0.5；神经元越少的隐藏层，keep_out可以设置的大一些，例如0.8，甚至是1。实际应用中，不建议对输入层进行dropout，如果输入层维度很大，例如图片，那么可以设置dropout，但keep_out应设置的大一些，例如0.8，0.9。使用dropout的时候，可以通过绘制cost function来进行debug，看看dropout是否正确执行。一般做法是，将所有层的keep_prob全设置为1，再绘制cost function，即涵盖所有神经元，看J是否单调下降。下一次迭代训练时，再将keep_prob设置为其它值。

其他正则化方法

除了L2 regularization和dropout regularization之外，还有其它减少过拟合的方法。 1.增加训练样本数量。 例如图片识别问题中，可以对已有的图片进行水平翻转、垂直翻转、任意角度旋转、缩放或扩大等等。 2.early stopping。 一个神经网络模型随着迭代训练次数增加，train set error一般是单调减小的，而dev set error 先减小，之后又增大。 也就是说训练次数过多时，模型会对训练样本拟合的越来越好，但是对验证集拟合效果逐渐变差，即发生了过拟合。因此，迭代训练次数不是越多越好，可以通过train set error和dev set error随着迭代次数的变化趋势，选择合适的迭代次数，即early stopping。

Early stopping有其自身缺点。 机器学习训练模型有两个目标：一是选择一个算法来优化代价函数$J(\omega ,b)$；二是防止过拟合。 这两个目标彼此对立的，即减小$J(\omega ,b)$的同时可能会造成过拟合，反之亦然。我们把这二者之间的关系称为正交化(orthogonalization)。 在深度学习中，我们可以同时减小Bias和Variance，构建最佳神经网络模型。但是，Early stopping提早停止了梯度下降，同时也就停止了优化代价函数$J(\omega ,b)$。与early stopping相比，L2 正则化可以实现“分而治之”的效果：迭代训练足够多，减小J，而且也能有效防止过拟合。 而L2 regularization的缺点之一是最优的正则化参数λ的选择比较复杂。对这一点来说，early stopping比较简单。 总的来说，L2 regularization更加常用一些。

正则化输入

在训练神经网络时，标准化输入可以提高训练的速度。 标准化输入就是对训练数据集进行归一化的操作，让所有输入归一化同样的尺度上，方便进行梯度下降算法时能够更快更准确地找到全局最优解。 即将原始数据减去其均值$\mu$后，再除以其方差${\sigma }^2$,书写表达式为： $$\mu =\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{X}^{(i)}$$ $${\sigma }^2=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(X^{(i)}{)}^2$$ $$X:=\frac{X-\mu }{{\sigma }^2}$$ 图示为： 注意 由于训练集进行了标准化处理，那么对于测试集或在实际应用时，应该使用同样的$\mu$和${\sigma }^2$对其进行标准化处理。

梯度消失与梯度爆炸

梯度消失和梯度爆炸（Vanishing and Exploding gradients）:当训练一个 层数非常多的神经网络时，计算得到的梯度可能非常小或非常大，甚至是指数级别的减小或增大。这样会让训练过程变得非常困难。 *例如，假设一个多层的每层只包含两个神经元的深度神经网络模型，如下图所示：为了简化复杂度，便于分析，我们令各层的激活函数为线性函数，即$g(Z)=Z$。且忽略各层常数项b的影响，令b全部为零。那么，该网络的预测输出$\hat{Y}$为： $$\hat{Y}=W^{[L]}{W}^{[L-1]}{W}^{[L-2]}\dots W^{[3]}{W}^{[2]}{W}^{[1]}X$$

也就是说，如果各层权重W[l]都大于1或者都小于1，那么各层激活函数的输出将随着层数l的增加，呈指数型增大或减小。当层数很大时，出现数值爆炸或消失。

神经网络的权重初始化

神经网络的权重初始化用于改善上述Vanishing and Exploding gradients问题以单个神经元为例，该层$（l）$的输入个数为$n$，其输出为(忽略常数项b)： $$z=w_1{x}_1+w_2{x}_2+\dots +w_n{x}_n$$ $$a=g(z)$$ 为了让z不会过大或者过小，思路是让w与n有关，且n越大，w应该越小才好。 另外，我们可以对这些初始化方法中设置某些参数，作为超参数，通过验证集进行验证，得到最优参数，来优化神经网络。

梯度的数值逼近

梯度的数值逼近用于近似求解梯度值 利用微分思想，函数f在点$\theta$处的梯度可以表示成： $$g(\theta )=\frac{f(\theta +\epsilon )-f(\theta -\epsilon )}{2\epsilon }$$ 其中$\epsilon >0且\epsilon \to 0$。

梯度检验

梯度检验用于检查验证反向传播过程中梯度下降算法是否正确。

梯度检查首先要做的是分别将$W^{[1]},b^{[1]},\cdots ,W^{[L]},b^{[L]}$这些矩阵构造成一维向量，然后将这些一维向量组合起来构成一个更大的一维向量θ。这样cost function $J(W^{[1]},b^{[1]},\cdots ,W^{[L]},b^{[L]})$就可以表示成$J(\theta )$。

然后将反向传播过程通过梯度下降算法得到的$d{W}^{[1]},d{b}^{[1]},\cdots ,d{W}^{[L]},d{b}^{[L]}$ 按照一样的顺序构造成一个一维向量$d\theta$。$d\theta$的维度与$\theta$一致。

接着利用$J(\theta )$对每个${\theta }_i$计算近似梯度，其值与反向传播算法得到的$d{\theta }_i$相比较，检查是否一致。例如，对于第$i$个元素，近似梯度为： $$d{\theta }_{approx}[i]=\frac{J({\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_i+\epsilon ,\cdots )-J({\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_i+\epsilon ,\cdots )}{2\epsilon }$$ 计算完所有${\theta }_i$的近似梯度后，可以计算$d{\theta }_{approx}与d\theta$的欧式（Euclidean）距离来比较二者的相似度。公式为： $$\frac{||d{\theta }_{approx}-d\theta |{|}_2}{||d{\theta }_{approx}|{|}_2+||d\theta |{|}_2}$$ 一般来说，如果欧氏距离越小，例如10−7，甚至更小，则表明$d{\theta }_{approx}与d\theta$越接近。反之如果欧氏距离较大，例如10−5，则表明梯度计算可能出现问题，需要再次检查是否有bugs存在。如果欧氏距离很大，例如10−3，甚至更大，则表明$d{\theta }_{approx}与d\theta$差别很大，梯度下降计算过程有bugs，需要仔细检查。

关于梯度检验实现的注记

不要在整个训练过程中都进行梯度检查，仅仅作为debug使用。如果梯度检查出现错误，找到对应出错的梯度，检查其推导是否出现错误。注意不要忽略正则化项，计算近似梯度的时候要包括进去。梯度检查时关闭dropout，检查完毕后再打开dropout。随机初始化时运行梯度检查，经过一些训练后再进行梯度检查（不常用）。