[200902] 全概率与贝叶斯公式

tech2023-01-23  48

[200902] 全概率与贝叶斯公式

通过B站,巩固了全概率公式与贝叶斯公式:

首先是某个事件B的完备事件组{A1,A2,…,An}

可以用因果关系来理解。Ai是第i个“因”,B是“果”。 Ai --------> B 代表Ai发生后B发生的概率,即条件概率P(B|Ai) B ---------> Ai 代表B发生了,同时是由Ai发生导致的概率,即P(Ai|B)

全概率公式 先验概率范畴:由因及果。在Ai发生的条件下,所有Ai–>B的可能性,加在一起。 P ( B ) = ∑ P ( B ∣ A i ) ∗ P ( A i ) P(B) = \sum{P(B|Ai)*P(Ai)} P(B)=P(BAi)P(Ai)

贝叶斯公式 后验概率范畴:执果寻因。在B发生后,推测由Ai导致的可能性。 P ( A i ∣ B ) = P ( B ∣ A i ) ∗ P ( A i ) ∑ P ( B ∣ A i ) ∗ P ( A i ) P(Ai|B) = \frac{P(B|Ai)*P(Ai)}{\sum{P(B|Ai)*P(Ai)}} P(AiB)=P(BAi)P(Ai)P(BAi)P(Ai)

贝叶斯公式可以用条件概率来理解与加强记忆: P ( A i ∣ B ) = P ( A i ∗ B ) P ( B ) P(Ai|B) = \frac{P(Ai*B)}{P(B)} P(AiB)=P(B)P(AiB)

Ai和B同时发生,P(Ai*B) = P(B|Ai)P(Ai) 事件B发生的概率,用全概率公式: P ( B ) = ∑ P ( B ∣ A i ) ∗ P ( A i ) P(B) = \sum{P(B|Ai)*P(Ai)} P(B)=P(BAi)P(Ai) 因此,将P(AiB)和P(B)代入条件概率公式,就得到贝叶斯公式。

延伸:一个简单的问题,为什么P(B|Ai)不等于P(Ai|B)? 虽然为了便于理解,在结构上他们是同一个路径,就像P(B|Ai)是正着走,P(Ai|B)是逆着走。 但是实际上,这是两条路。 一个是从Ai的事件空间里到B,另一个是从B的事件空间里到Ai。 从条件概率的公式出发,P(Ai)与P(B)是不一样的。 从空间的角度出发,Ai与B的事件空间大小是不同的。

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